المسألة الرابعة من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. يشد الخيط بقوة شدتها $F_T=\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{N}$ فيهتز مكونا مغزلين. احسب كتلة الخيط.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 6

   الخيط يهتزّ بالتجاوب مع الرنّانة، ونعدّ طرفيه عقدتين، فطوله عددٌ صحيح $n$ من أنصاف طول الموجة، وتواتره تواتر الرنّانة:

   $$f={\displaystyle \frac{n}{2L}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}$$

   في سلّم التصحيح: تُقبل أيّ طريقةٍ صحيحة.

   التعويضالدرجة: 3+1

   مغزلان، فـ $n=2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{2<!--\; -->0}={\displaystyle \frac{2}{2\times 2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{\mu }}}}\\ {\displaystyle \mu ={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}}\end{array}$$

   لأنّ $\sqrt{\frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{\mu }}=\mathrm{4<!--\; -->0}$، فـ $\mu =\frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{\mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->0<!--\; -->0}}$.

   في سلّم التصحيح: يُقبل حساب السرعة أينما وردت، في هذا الطلب أو في الطلب الثاني.

   العلاقةالدرجة: 5

   الكتلة الخطيّة كتلة واحدة الطول من الخيط:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{m}{L}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}={\displaystyle \frac{m}{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$m=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}$$

   أي $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{g}$.

2. 2. احسب سرعة انتشار الاهتزاز العرضي على طول الخيط.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   تحقّق: مغزلان على $2\mathrm{m}$، فطول الموجة $\lambda =2\mathrm{m}$، و$v=\lambda f=2\times \mathrm{2<!--\; -->0}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

3. 3. احسب قوة الشد التي تجعل الخيط يهتز بالتجاوب مع الرنانة السابقة مكونا أربعة مغازل.(5 درجات)

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في العلاقة نفسها $f={\displaystyle \frac{n}{2L}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}$ مع $n=4$، والتواتر والكتلة الخطيّة لا يتغيّران:

   $$\mathrm{2<!--\; -->0}={\displaystyle \frac{4}{2\times 2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$F_T=4\mathrm{N}$$

   ضاعفنا عدد المغازل فصارت قوّة الشدّ ربع ما كانت: $\frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{4}=4$، لأنّ $F_T$ تتناسب عكساً مع $n^2$ عند ثبات التواتر.