المسألة الأولى من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب دور نوساتها صغيرة السعة.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 6

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   كتلة الجملة $m$ مجموع الكتلتين، لأنّ الساق مهملة الكتلة:

   $$m=m_1+m_2$$

   التعويضالدرجة: 2+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}\\ {\displaystyle m=1\mathrm{k}\mathrm{g}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   $d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. الكتلتان تحت المحور، $m_1$ على بُعد $\frac{L}{2}$ و$m_2$ على بُعد $L$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{\sum m_i{r}_i}{\sum m_i}}}\\ {\displaystyle d={\displaystyle \frac{m_1\frac{L}{2}+m_{2}L}{m_1+m_2}}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3+1

   مع $\frac{L}{2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{m}$ و$m_1+m_2=1\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}}{1}}}\\ {\displaystyle d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{m}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزوم عطالة أجزائها: الساق مهملة الكتلة فعزمها معدوم، و$r_i$ بُعد الكتلة $m_i$ عن المحور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=0+m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=m_1{\left(\frac{L}{2}\right)}^2+m_2{L}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->6}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في علاقة الدور:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}{1\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=2\sqrt{{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $2\sqrt{1}$.

2. $\text{2<!-- -->a}$. نزيح الجملة عن وضع توازنها بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ ونتركها دون سرعة ابتدائية، فتكون السرعة الخطية لمركز عطالة جملة النواس لحظة مروره بالشاقول $v=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. المطلوب: احسب السرعة الخطية للكتلة النقطية $m_2$ لحظة المرور بالشاقول.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1

   كلّ نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاويّة نفسها $\omega$، وسرعة نقطةٍ على بُعد $r$ من المحور $v=\omega r$. نجد $\omega$ من سرعة مركز العطالة $v_c$، وهي السرعة $v$ في نصّ المسألة، ومركز العطالة يبعد $d$ عن المحور:

   $$\omega ={\displaystyle \frac{v_c}{d}}$$

   في سلّم التصحيح: تُقبل أيّ طريقةٍ صحيحة.

   التعويضالدرجة: 3+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\pi }{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}}}\\ {\displaystyle \omega =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   الكتلة $m_2$ في طرف الساق السفليّ، على بُعد $r_2=L$ من المحور:

   $$v_2=\omega r_2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$v_2=\pi \times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v_2=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->7}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

3. $\text{2<!-- -->b}$. استنتج قيمة الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1+1

   نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على جملة النوّاس بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}},{\theta }_2=0$$

   العلاقةالدرجة: 2+2+2+2

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}}}\\ {\displaystyle E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجتين إذا كتب ${\bar{W}}_{\vec{T}}$، فلا خيط في هذا النوّاس، والقوّة الثانية ردّ فعل المحور.

   العلاقةالدرجة: 1+1

   $E_{k1}=0$ لأنّ الجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$ لأنّ نقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل.

   العلاقةالدرجة: 4+4

   الطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة:

   $$\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2-0=mgh+0$$

   في سلّم التصحيح: أو $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}\frac{v_c^2}{r_c^2}-0=mgh+0$، ويُتابَع له.

   العلاقةالدرجة: 3

   مركز العطالة على بُعد $d$ من المحور، فانخفاضه:

   $$h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   العلاقةالدرجة: 2

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2}\\ {\displaystyle =mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\omega =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ من الطلب السابق:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}{\pi }^2}\\ {\displaystyle =1\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير الطرف الأيسر $\mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->5}$، فـ $1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{\pi }{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   والزاوية $\frac{\pi }{3}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ الطلب.

   في سلّم التصحيح: تُقبل ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$.