المسألة الثانية من امتحان 2022، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب اتساعية المكثفة $X_C$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والنبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\omega =2\pi \times \mathrm{5<!--\; -->0}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$X_C=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

2. 2. احسب قيمة الشدّة المنتجة للتيار المار في الدارة $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$، ثمّ اكتب تابع الشدّة اللحظية لهذا التيار.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   العناصر على التسلسل، فيمرّ في المكثّفة تيّار الدارة نفسه، وقانون أوم بين طرفيها:

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=X_C{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=2\mathrm{A}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   والسعة من الشدّة المنتجة:

   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\sqrt{2}$$

   الجوابالدرجة: 2

   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=2\sqrt{2}\mathrm{A}$$

   الجوابالدرجة: 5

   الشدّة واحدة في كلّ عناصر الدارة التسلسليّة، فنتّخذها مرجعاً للطور، أي طورها الابتدائيّ معدوم، كما في سلّم التصحيح:

   $$\bar{i}=2\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t$$

   والشدّة بالأمبير، والزمن بالثانية.

3. 3. احسب قيمة التوتر المنتج بين طرفي المقاومة $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ باستخدام إنشاء فرينل، ثمّ احسب قيمة المقاومة الأومية $R$.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   التوتّر اللحظيّ بين طرفي الدارة مجموع التوتّرين اللحظيّين بين طرفي المقاومة والمكثّفة، فشعاع فرينل له مجموع شعاعيهما. شعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ على حامل الشدّة، لأنّ المقاومة صرفة؛ وشعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$ متأخّرٌ عنها بربع دور، $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$:

   في سلّم التصحيح: في سلّم التصحيح بجانب الرسم: «للرسم المتكامل».

   العلاقةالدرجة: 5

   الشعاعان متعامدان، فالمحصّلة وتر المثلّث القائم:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}^2+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}=\mathrm{6<!--\; -->4<!--\; -->0<!--\; -->0}+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

   لاحظ أنّه ليس $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{8<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{V}$: التوتّرات المنتجة لا تُجمع جمعاً عاديّاً لأنّها على غير توافقٍ بالطور.

   العلاقةالدرجة: 5

   وفي المقاومة يمرّ تيّار الدارة نفسه:

   $$R={\displaystyle \frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$R={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->0}}{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$R=\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

4. 4. نضيف على التسلسل إلى الدارة السابقة وشيعة مناسبة مقاومتها الأومية مهملة، ذاتيتها $L$ بحيث تبقى الشدّة المنتجة للتيار نفسها، احسب ذاتية الوشيعة المضافة $L$.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3

   التوتّر المنتج للمأخذ لم يتغيّر والشدّة المنتجة بقيت نفسها، فممانعة الدارة ${\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$ قبل الإضافة $Z$ تساوي ممانعتها بعدها $Z^{\mathrm{\prime }}$:

   $$Z=Z^{\mathrm{\prime }}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   قبل الإضافة مقاومةٌ ومكثّفة على التسلسل، وبعدها مقاومةٌ ووشيعةٌ مهملة المقاومة ومكثّفة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt{R^2+X_C^2}}\\ {\displaystyle =\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   نربّع الطرفين ونحذف $R^2$، فيبقى $(X_L-X_C{)}^2=X_C^2$، ولها حلّان. الأوّل:

   $$X_L-X_C=+X_C$$

   العلاقةالدرجة: 2

   $$X_L=2X_C$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$X_L=2(\mathrm{4<!--\; -->0})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$X_L=\mathrm{8<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   والحلّ الثاني:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L-X_C=-X_C}\\ {\displaystyle X_L=0}\end{array}$$

   وهو مرفوض: الوشيعة المضافة ذاتيّتها $L$ غير معدومة، فردّيّتها $X_L=L\omega$ لا تنعدم.

   العلاقةالدرجة: 5

   وردّيّة الوشيعة:

   $$X_L=\omega L$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$L={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{4}{5\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5<!--\; -->5}\mathrm{H}$. ومع $X_L=2X_C$ صار التوتّر متقدّماً على الشدّة بالزاوية نفسها التي كان متأخّراً بها، والممانعة نفسها.