المسألة الأولى من امتحان 2022، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقاً من شكله العام.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   العلاقةالدرجة: 1

   في اللحظة $t=0$ تُترك الساق دون سرعة، فسرعتها الزاويّة معدومة:

   $$t=0,\bar{\omega }=0$$

   العلاقةالدرجة: 2

   فهي عندئذٍ في أبعد مطالٍ عن وضع التوازن، وسعتها الزاويّة زاوية الإدارة:

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   النبض الخاصّ من الدور الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$$

   التعويضالدرجة: 2

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{1}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $${\omega }_0=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 1+3+1+1

   نعوّض شروط البدء $t=0$، $\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cos (2\pi t)$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

2. 2. احسب قيمة السرعة الزاوية للساق لحظة مرورها الأوّل بوضع التوازن.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2

   عند المرور بوضع التوازن $\bar{\theta }=0$، فمن التابع الزمنيّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cos 2\pi t=0}\\ {\displaystyle \cos 2\pi t=0}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   ومنها، حيث $n$ عددٌ صحيح، ولأنّ $t\ge 0$ فإنّ $n=0,1,2,\dots$:

   $$2\pi t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n$$

   التعويضالدرجة: 1+1

   المرور الأوّل عند $n=0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 2\pi t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\\ {\displaystyle t={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{s}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   السرعة الزاويّة مشتقّ المطال الزاويّ بالنسبة للزمن:

   $$\bar{\omega }=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\bar{\omega }=-2\pi \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\sin (2\pi \times {\displaystyle \frac{1}{4}})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{\omega }=-\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ $\sin \frac{\pi }{2}=1$، فالسرعة الزاويّة $-{\pi }^2$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ المعطاة في الطلب $\text{b}$ تصير $-\mathrm{1<!--\; -->0}$. والإشارة سالبة: في المرور الأوّل تعود الساق من مطالها الموجب نحو وضع التوازن، أي بالاتّجاه السالب.

3. 3. احسب قيمة التسارع الزاوي للساق عندما تصنع زاوية $\theta =-\frac{\pi }{4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ مع وضع توازنها.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   من المعادلة التفاضليّة لنوّاس الفتل، التسارع الزاويّ متناسبٌ مع المطال الزاويّ وبعكس إشارته:

   $$\bar{\alpha }=-{\omega }_0^2\bar{\theta }$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\bar{\theta }=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$:

   $$\bar{\alpha }=-(2\pi {)}^2(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{\alpha }=\mathrm{1<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$$

   لأنّ $4{\pi }^2\times \frac{\pi }{4}={\pi }^2\times \pi$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\mathrm{1<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$. والتسارع موجبٌ لأنّ المطال سالب: يعيد الساق نحو وضع التوازن.

4. $\text{b}$. نثبت بطرفي الساق كتلتين نقطيتين $m_1=m_2=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{g}$ فيصبح الدور الخاص الجديد للجملة المهتزة $T_0^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{s}$ فإذا علمت أنّ عزم عطالة الساق حول محور عمودي عليها ومار من منتصفها $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}C}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}M{L}^2$ وباعتبار أنّ ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$، استنتج قيمة كتلة الساق $M$.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل غير المتخامد، و$k$ ثابت فتل السلك:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   في سلّم التصحيح: في سلّم التصحيح بجانبها: «لعلاقة الدور الخاص (تعطى ضمناً)».

   العلاقةالدرجة: 5

   السلك نفسه، فثابت الفتل لا يتغيّر، ونقسم علاقتي الدور قبل تثبيت الكتلتين وبعده، و$I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ عزم عطالة الجملة الجديدة:

   $${\displaystyle \frac{T_0}{T_0^{\mathrm{\prime }}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض $T_0=1\mathrm{s}$ و$T_0^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{s}$، ونربّع الطرفين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}}}\\ {\displaystyle 4I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 3+3

   عزم عطالة الجملة الجديدة عزم عطالة الساق مضافاً إليه عزم عطالة الكتلتين، وكلٌّ منهما على بعد ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ من السلك:

   $$4I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}C}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}C}+2m_1{\displaystyle \frac{L^2}{4}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}C}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}M{L}^2$، ثمّ نختصر $L^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 3\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}M{L}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_1{L}^2}\\ {\displaystyle M=2m_1}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $m_1=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{g}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$M=2\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$M=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{k}\mathrm{g}$$

   ولا يحتاج هذا الطلب طول الساق ولا ثابت الفتل: كلاهما يختصر في النسبة.