المسألة الثانية من امتحان 2019، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. اتساعية المكثفة $X_C$، والممانعة الكلية للدارة $Z$.(26 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والنبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =2\pi \times \mathrm{5<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle \omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $C=\frac{1}{2\pi }\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}=\frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }\mathrm{F}$:

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$X_C=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

   العلاقةالدرجة: 5

   ممانعة مقاومةٍ ومكثّفة على التسلسل:

   $$Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$Z=\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->2<!--\; -->5}+\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$Z=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$$

2. 2. قيمة الشدّة المنتجة للتيار المار في الدارة $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   قانون أوم للدارة كلّها:

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->5}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=4\mathrm{A}$$

3. 3. قيمة التوتر المنتج بين طرفي المكثفة $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   العناصر على التسلسل، فيمرّ في المكثّفة تيّار الدارة نفسه، وقانون أوم بين طرفيها:

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=X_C{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=\mathrm{2<!--\; -->0}\times 4$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=\mathrm{8<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

4. 4. قيمة التوتر المنتج بين طرفي المقاومة $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ باستخدام إنشاء فرينل.(11 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 6

   التوتّر اللحظيّ بين طرفي الدارة مجموع التوتّرين اللحظيّين بين طرفي المقاومة والمكثّفة، فشعاع فرينل له مجموع شعاعيهما. شعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ على حامل الشدّة، لأنّ المقاومة صرفة؛ وشعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$ متأخّرٌ عنها بربع دور، $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\vec{U}}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}\\ {\displaystyle ={\vec{U}}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}+{\vec{U}}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر درجة واحدة عند إغفال الشعاع فوق $i$.

   العلاقة

   الشعاعان متعامدان، فالمحصّلة وتر المثلّث القائم:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}{)}^2=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+(\mathrm{8<!--\; -->0}{)}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2=\mathrm{3<!--\; -->6<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{V}}\end{array}$$

   لاحظ أنّه ليس $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{8<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{V}$: التوتّرات المنتجة لا تُجمع جمعاً عاديّاً لأنّها على غير توافقٍ بالطور. والتحقّق: $R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->5}\times 4=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{V}$.

5. 5. ذاتية الوشيعة $L$ مهملة المقاومة الواجب إضافتها على التسلسل إلى الدارة السابقة لتصبح الشدّة المنتجة للتيار بأكبر قيمة لها، واحسب الاستطاعة المتوسطة المستهلكة في الدارة عندئذٍ.(23 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   التوتّر المنتج للمأخذ ثابت، فالشدّة المنتجة $\frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z}$ أكبر ما تكون حين تكون الممانعة $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ أصغر ما تكون، أي حين $X_L=X_C$. هذه حالة الطنين: $Z=R$ و$\cos \bar{\phi }=1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=X_C}\\ {\displaystyle \omega L=X_C}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   التواتر لم يتغيّر، $\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi L=\mathrm{2<!--\; -->0}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{1}{5\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6<!--\; -->4}\mathrm{H}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   الاستطاعة المتوسّطة المستهلكة، و$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}$ الشدّة المنتجة الجديدة:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}\cos \bar{\phi }$$

   في سلّم التصحيح: بجانبه «طريقة ثانية لإيجاد $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}$»: $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }2}$ $(5)$، و$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}\mathrm{A}$ $(3)$، و$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{1<!--\; -->5}\times {\left(\frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}\right)}^2$ $(3)$، و$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\frac{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}{3}\mathrm{W}$ $(1+1)$. «تُقبل أي طريقة صحيحة».

   التعويضالدرجة: 3

   في الطنين الممانعة $Z=R$، فالشدّة المنتجة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{R}}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}}\mathrm{A}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\cos \bar{\phi }=1$:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}}\times 1$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}={\displaystyle \frac{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3}{3}}\mathrm{W}$$

   أي نحو $\mathrm{6<!--\; -->6<!--\; -->6<!--\; -->.<!--\; -->7}\mathrm{W}$.