المسألة الأولى من امتحان 2019، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب كتلة الساق $m$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل غير المتخامد، و$I_{\mathrm{\Delta }}$ عزم عطالة الساق حول السلك:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   في سلّم التصحيح: تُقبل أيّ طريقةٍ صحيحة.

   العلاقة

   السلك شاقوليّ يمرّ من منتصف الساق الأفقيّة، فهو محورٌ عموديٌّ عليها مارٌّ من مركزها، و$I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}m{l}^2$. نربّع طرفي العلاقة ونعزل $m$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}m{l}^2={\displaystyle \frac{T_0^{2}k}{4{\pi }^2}}}\\ {\displaystyle m={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2}{T}_0^{2}k}{4{\pi }^2{l}^2}}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $l=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$m={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2}\times 4^2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{4\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times (\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{)}^2}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$m=\mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->9<!--\; -->2}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

2. 2. استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقاً من شكله العام.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   العلاقةالدرجة: 2

   شروط البدء: في اللحظة $t=0$ تُترك الساق دون سرعة، فسرعتها الزاويّة معدومة:

   $$t=0,\bar{\omega }=0$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل: تُرك دون سرعة ابتدائيّة في اللحظة $t=0$.

   العلاقةالدرجة: 3

   فهي عندئذٍ في أبعد مطالٍ عن وضع التوازن، وهذه سعتها الزاويّة:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   النبض الخاصّ من الدور الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$$

   في سلّم التصحيح: بجانب أسطر ${\omega }_0$ الثلاثة: «تُعطى لمرة واحدة أينما وردت».

   التعويضالدرجة: 3

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض شروط البدء في تابع المطال، $t=0$ و$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الجوابالدرجة: 6

   $$\bar{\theta }=\pi \cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

3. 3. احسب قيمة السرعة الزاويّة للساق لحظة مرورها الأول بوضع التوازن.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   السرعة الزاويّة مشتقّ المطال الزاويّ بالنسبة للزمن:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\omega }=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle \bar{\omega }=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\pi \sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: إغفال إشارة السالب يخسر $5$ للعلاقة $+1$ للجواب.

   العلاقةالدرجة: 3

   تبدأ الساق من أبعد مطال، فتمرّ بوضع التوازن أوّل مرّة بعد ربع دور:

   $$t={\displaystyle \frac{T_0}{4}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$t={\displaystyle \frac{4}{4}}=1\mathrm{s}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\bar{\omega }=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{2}}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\times 1)$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{\omega }=-5\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   والإشارة سالبة لأنّ الساق بدأت من المطال الموجب $+\pi$، فهي تعود إلى وضع التوازن بالاتّجاه السالب. وقيمة السرعة الزاويّة $5\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

4. 4. نثبّت بالطرفين $a$ و $b$ كتلتين نقطيتين متماثلتين $m_1=m_2=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{g}$. احسب قيمة الدور الخاص الجديد $T_0^{\mathrm{\prime }}$ في هذه الحالة.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   ثابت فتل السلك لم يتغيّر، وتغيّر عزم العطالة إلى $I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}{k}}}$$

   في سلّم التصحيح: تُقبل أيّ طريقةٍ صحيحة.

   العلاقةالدرجة: 2

   عزم عطالة الجملة مجموع عزوم عطالة أجزائها حول السلك، والكتلتان متماثلتان:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}+2I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}_1}$$

   العلاقةالدرجة: 2

   كلّ كتلةٍ نقطيّة في طرف الساق، على بعد $\frac{l}{2}$ من السلك:

   $$I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}_1}=m_1{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2$$

   التعويضالدرجة: 2

   مع $m_1=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{g}=\mathrm{4<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}_1}=\mathrm{4<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle \times {\displaystyle \frac{(\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{)}^2}{4}}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}_1}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 2

   وعزم عطالة الساق $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}m{l}^2$، بالكتلة من الطلب الأوّل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}\times \mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle \times (\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{)}^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}=4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 2

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}+2\times \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=6\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\sqrt{\mathrm{3<!--\; -->6}}$. زاد الدور لأنّ الكتلتين زادتا عزم العطالة.