المسألة الثانية من امتحان 2019، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. قيمة التوتر المنتج بين لبوسي المكثفة $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$ باستخدام إنشاء فرينل.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2+2

   التوتّر اللحظيّ بين طرفي الدارة مجموع التوتّرين اللحظيّين بين طرفي المقاومة والمكثّفة، فشعاع فرينل له مجموع شعاعيهما. الشدّة واحدة في الدارة التسلسليّة فنتّخذها مرجعاً للطور: التوتّر بين طرفي المقاومة الصرفة على توافقٍ معها، وبين لبوسي المكثّفة متأخّرٌ عنها بربع دور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\vec{U}}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\vec{U}}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}+{\vec{U}}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}}\\ {\displaystyle {\bar{\phi }}_R=0,{\bar{\phi }}_C=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: تعطى ضمناً.

   العلاقةالدرجة: 6

   نرسم شعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ على حامل الشدّة، ومن رأسه شعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$ عموديّاً عليه نحو الأسفل، والمحصّلة من بداية الأوّل إلى رأس الثاني:

   في سلّم التصحيح: يخسر درجة واحدة عند إغفال الشعاع فوق $i$.

   العلاقةالدرجة: 5

   الشعاعان متعامدان، فالمحصّلة وتر المثلّث القائم:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$(\mathrm{5<!--\; -->0}{)}^2=(\mathrm{3<!--\; -->0}{)}^2+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

   لاحظ أنّه ليس $\mathrm{5<!--\; -->0}-\mathrm{3<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{V}$: التوتّرات المنتجة لا تُجمع جمعاً عاديّاً لأنّها على غير توافقٍ بالطور.

2. 2. قيمة الشدة المنتجة للتيار المار في الدارة $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   العناصر على التسلسل، فيمرّ في المكثّفة تيّار الدارة نفسه، وقانون أوم بين لبوسيها:

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=X_C{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{4<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->0}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=2\mathrm{A}$$

3. 3. قيمة المقاومة الأومية $R$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   وفي المقاومة يمرّ تيّار الدارة نفسه:

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{3<!--\; -->0}=R\times 2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$R=\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$$

4. 4. عامل استطاعة الدارة، والاستطاعة المتوسطة المستهلكة فيها.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   من إنشاء فرينل، $\bar{\phi }$ الزاوية بين شعاع التوتّر الكلّيّ وحامل الشدّة:

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$$

   في سلّم التصحيح: طريقة ثانية: $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$، أي $\sqrt{(\mathrm{1<!--\; -->5}{)}^2+(\mathrm{2<!--\; -->0}{)}^2}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$، ثمّ $\cos \bar{\phi }=\frac{R}{Z}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->5}}{\mathrm{2<!--\; -->5}}=\frac{3}{5}$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->0}}{\mathrm{5<!--\; -->0}}}$$

   الجوابالدرجة: 2

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   والاستطاعة المتوسّطة المستهلكة في الدارة:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\cos \bar{\phi }$$

   في سلّم التصحيح: طريقة ثانية: $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=P_{{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}_1}+P_{{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}_2}=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2+0$، أي $\mathrm{1<!--\; -->5}\times (2{)}^2=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{W}$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{5<!--\; -->0}\times 2\times {\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{W}$$

   وهي كلّها في المقاومة: المكثّفة لا تستهلك استطاعةً متوسّطة، و$R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{1<!--\; -->5}\times 4=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{W}$.

5. 5. ذاتية الوشيعة المهملة المقاومة الواجب ربطها على التسلسل في الدارة السابقة لتبقى الشدة المنتجة للتيار بالقيمة نفسها.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2+2

   التوتّر المنتج للمأخذ لم يتغيّر، فإذا بقيت الشدّة المنتجة نفسها $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$ كان $\frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z^{\mathrm{\prime }}}=\frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z}$، أي $Z^{\mathrm{\prime }}=Z$. قبل الإضافة مقاومةٌ ومكثّفة، وبعدها مقاومةٌ ووشيعةٌ مهملة المقاومة ومكثّفة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}}\\ {\displaystyle =\sqrt{R^2+X_C^2}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: طريقة ثانية: $\cos {\phi }_2=\cos {\phi }_2^{\mathrm{\prime }}$، $\cos {\phi }_2=\frac{R}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}}$، $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->5}}{\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->2<!--\; -->5}+(X_L-X_C{)}^2}}$، $(X_L-X_C{)}^2=\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}$، $X_L-X_C=\pm \mathrm{2<!--\; -->0}$ (السالب مرفوض يوافق حالة عدم وجود وشيعة)، $X_L-X_C=\mathrm{2<!--\; -->0}$، $X_L=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$.

   العلاقةالدرجة: 2

   نربّع الطرفين ونحذف $R^2$، فيبقى $(X_L-X_C{)}^2=X_C^2$، أي $X_L-X_C=\pm X_C$. الحلّ السالب مرفوض، لأنّه يعطي $X_L=0$، وهو يوافق حالة عدم وجود وشيعة:

   $$X_L-X_C=X_C$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=2X_C=2(\mathrm{2<!--\; -->0})}\\ {\displaystyle X_L=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   وردّيّة الوشيعة $X_L=L\omega$:

   $$L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والنبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   في سلّم التصحيح: أينما وردت.

   التعويضالدرجة: 3

   $$\omega =2\pi (\mathrm{5<!--\; -->0})$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$L={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{2}{5\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->7}\mathrm{H}$. ومع $X_L=2X_C$ صار التوتّر متقدّماً على الشدّة بالزاوية نفسها التي كان متأخّراً بها، والممانعة نفسها.

   في سلّم التصحيح: طريقة ثالثة: إذا انطلق من العلاقة $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=2U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}$ ينال الدرجات السابقة المخصصة ويُتابع له.