المسألة الأولى من امتحان 2019، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الدور الخاص لهذا النواس في حالة السعات الزاوية الصغيرة.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   المحور في منتصف الساق، فكلّ كتلةٍ على بُعد نصف طول الساق منه:

   $$r_1=r_2={\displaystyle \frac{l}{2}}$$

   في سلّم التصحيح: ينالها ضمناً.

   العلاقةالدرجة: 5

   عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزمَي عطالة الكتلتين النقطيّتين، والساق مهملة الكتلة:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=m_1{\left(\frac{l}{2}\right)}^2+m_2{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$$

   التعويضالدرجة: 3+1

   مع ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \frac{1}{4}+\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\times \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3+1

   كتلة الجملة $m=m_1+m_2$، لأنّ الساق مهملة الكتلة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}+\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}}\\ {\displaystyle m=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{k}\mathrm{g}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   $d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. نعدّ البعد موجباً تحت المحور وسالباً فوقه: $m_2$ تحت المحور على بُعد $\frac{l}{2}$، و$m_1$ فوقه على البُعد نفسه:

   $$d={\displaystyle \frac{m_2\frac{l}{2}-m_1\frac{l}{2}}{m_1+m_2}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل $d=\frac{m_2{\bar{r}}_2+m_1{\bar{r}}_1}{m_1+m_2}$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$d={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\times \frac{1}{2}-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \frac{1}{2}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$d=\frac{1}{4}\mathrm{m}$$

   فمركز العطالة تحت المحور، ولذلك تهتزّ الجملة حول وضع توازنٍ مستقرّ.

   في سلّم التصحيح: ينال درجة واحدة إذا كتب $d=\frac{1}{4}\mathrm{m}$ ويُتابع له.

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في علاقة الدور:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{4}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=2\sqrt{{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $2\sqrt{1}$.

2. 2. احسب طول النواس الثقلي البسيط المواقت لهذا النواس.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   النوّاس البسيط المواقت دوره الخاصّ يساوي الدور الخاصّ $T_0$ للنوّاس المركّب. نسمّي طوله $l^{\mathrm{\prime }}$، تمييزاً له من طول الساق $l$، ودوره الخاصّ في السعات الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $T_0=2\mathrm{s}$ من الطلب السابق:

   $$2=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$l^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$$

   لأنّ ${\pi }^2\frac{l^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=1$ ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يبقى $l^{\mathrm{\prime }}=1$. وتحقّقٌ بعلاقة طول النوّاس البسيط المواقت: $l^{\mathrm{\prime }}=\frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{md}=\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}=1\mathrm{m}$.

3. 3. نزيح جملة النواس عن وضع توازنها الشاقولي بسعة زاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ ونتركها دون سرعة ابتدائية. استنتج بالرموز العلاقة المحددة لسرعتها الزاوية لحظة مرورها بشاقول محور التعليق، ثم احسب قيمتها، واحسب السرعة الخطية للكتلة النقطية $m_2$.(40 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1+1

   نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على جملة النوّاس بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}},{\theta }_2=0$$

   في سلّم التصحيح: تعطى ضمناً عند التعويض الصحيح.

   العلاقةالدرجة: 2

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}(1\to 2)}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1+1+1

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$:

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}$$

   في سلّم التصحيح: استبدال $\vec{R}$ بـ $\vec{T}$ يخسر درجة واحدة.

   العلاقةالدرجة: 1

   الجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة:

   $$E_{k1}=0$$

   العلاقةالدرجة: 1

   ونقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل:

   $${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$$

   العلاقةالدرجة: 4+4

   الطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور حول محورٍ ثابت $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة، فـ $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2-0=mgh+0$:

   $$\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=mgh$$

   في سلّم التصحيح: لا يُقبل: $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$.

   العلاقةالدرجة: 2

   مركز العطالة على بُعد $d$ من المحور، فانخفاضه بين الوضعين:

   $$h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   العلاقةالدرجة: 5

   نعوّض $h$، فـ $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$، ونستخرج $\omega$:

   $$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}{I_{\mathrm{\Delta }}}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\cos {\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

   $$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{4}(1-\frac{1}{2})}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\omega =\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ ما تحت الجذر $\frac{4}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}=\mathrm{1<!--\; -->0}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\omega =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   في سلّم التصحيح: أو: $\omega =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   كلّ نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاويّة نفسها $\omega$، والكتلة $m_2$ على بُعد $r_2=\frac{l}{2}$ من المحور، فـ $v_{m_2}=\omega \frac{l}{2}$:

   $$v_{m_2}=\omega r_2$$

   والرمز $d$ في ملاحظة سلّم التصحيح بُعدُ الكتلة $m_2$ عن المحور، لا بُعد مركز العطالة $\frac{1}{4}\mathrm{m}$.

   في سلّم التصحيح: تُقبل: $v=\omega d$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$v_{m_2}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times \frac{1}{2}$$

   في سلّم التصحيح: أو: $v_{m_2}=\pi \times \frac{1}{2}$.

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v_{m_2}=\frac{\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}}{2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->8}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   في سلّم التصحيح: أو: $v_{m_2}=\frac{\pi }{2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.