المسألة الثانية من امتحان 2018، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. قيمة التوتر المنتج الكلي بين طرفي المأخذ باستخدام إنشاء فرينل.(14 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 4

   التوتّر اللحظيّ بين طرفي المأخذ مجموع التوتّرين اللحظيّين بين طرفي المقاومة والوشيعة، فشعاع فرينل للتوتّر الكلّيّ مجموع شعاعيهما. شعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}$ على حامل الشدّة، لأنّ المقاومة صرفة؛ وشعاع $U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}$ متقدّمٌ عليها بربع دور، $+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، لأنّ مقاومة الوشيعة مهملة:

   في سلّم التصحيح: بجانب الرسم: «يخسر درجة واحدة عند إغفال شعاع».

   العلاقةالدرجة: 5

   الشعاعان متعامدان، فالمحصّلة وتر المثلّث القائم، حسب فيثاغورث:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\sqrt{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}^2}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\sqrt{(\mathrm{9<!--\; -->0}{)}^2+(\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}{)}^2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

   لاحظ أنّه ليس $\mathrm{9<!--\; -->0}+\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->1<!--\; -->0}\mathrm{V}$: التوتّرات المنتجة لا تُجمع جمعاً عاديّاً لأنّها على غير توافقٍ بالطور.

2. 2. قيمة الشدة المنتجة للتيار المار في الدارة.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   العنصران على التسلسل، فيمرّ في المقاومة تيّار الدارة نفسه، وقانون أوم بين طرفيها:

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}}{R}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9<!--\; -->0}}{\mathrm{3<!--\; -->0}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=3\mathrm{A}$$

3. 3. ذاتيّة الوشيعة، ثمّ اكتب التابع الزمني للتوتر بين طرفي الوشيعة.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   ويمرّ في الوشيعة التيّار نفسه، فردّيّتها من قانون أوم بين طرفيها:

   $$X_L={\displaystyle \frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$$

   في سلّم التصحيح: طريقةٌ ثانية: $L=\frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}}{\omega I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}$، أي $L=\frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \times 3}=\frac{2}{5\pi }\mathrm{H}$.

   الجوابالدرجة: 1

   $$X_L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{3}}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والنبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\omega =2\pi \times \mathrm{5<!--\; -->0}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   وردّيّة الوشيعة $X_L=L\omega$، فذاتيّتها:

   $$L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$L={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{2}{5\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->7}\mathrm{H}$.

   العلاقةالدرجة: 2

   الشكل العامّ لتابع التوتّر بين طرفي الوشيعة، وسعته من قيمته المنتجة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{u}}_L=U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}\cos (\omega t+{\bar{\phi }}_L)}\\ {\displaystyle U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}\sqrt{2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\sqrt{2}\mathrm{V}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   والنبض $\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. الشدّة واحدة في عنصري الدارة التسلسليّة، فنتّخذها مرجعاً للطور، أي طورها الابتدائيّ معدوم، كما في سلّم التصحيح؛ والوشيعة مهملة المقاومة، فالتوتّر بين طرفيها متقدّمٌ على الشدّة بربع دور:

   $${\bar{\phi }}_L={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الجوابالدرجة: 6

   $${\bar{u}}_L=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$

   والتوتّر بالفولت، والزمن بالثانية.

   في سلّم التصحيح: بجانبه: «ينال 10 درجات إذا كتب التابع مباشرة».

4. 4. عامل استطاعة الدارة.(9 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   من إنشاء فرينل في الطلب الأوّل: $\bar{\phi }$ الزاوية بين شعاع التوتّر الكلّيّ وحامل الشدّة، وجيب تمامها الضلع المجاور على الوتر:

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل طريقٌ آخر: $\cos \bar{\phi }=\frac{R}{Z}$، مع $Z=\frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}}{3}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$، ثمّ $\cos \bar{\phi }=\mathrm{3<!--\; -->0}\times \frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}}$، و$\cos \bar{\phi }=\frac{3}{5}$؛ ودرجاته على الترتيب $5$ و$3$ و$1$، ومجموعها $9$ أيضاً.

   التعويضالدرجة: 3

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{9<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$.

5. $\text{b<!-- -->1}$. نضيف للدارة السابقة على التسلسل مكثفة مناسبة سعتها $C$ فتصبح الشدة المنتجة للتيار بأكبر قيمة لها. المطلوب حساب: سعة المكثفة المضافة $C$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   المأخذ نفسه، فالشدّة المنتجة $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z}}$ أكبر ما يمكن حين تكون الممانعة $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ أصغر ما يمكن، أي $Z=R$. وهذه حالة الطنين، أو التجاوب الكهربائيّ:

   $$X_L=X_C$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$، و$X_L=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$، و$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\mathrm{4<!--\; -->0}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi C}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي نحو $\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{F}$.

6. $\text{b<!-- -->2}$. الاستطاعة المتوسطة المستهلكة في الدارة في هذه الحالة.(12 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الاستطاعة المتوسّطة، و$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}$ الشدّة المنتجة الجديدة، و${\bar{\phi }}^{\mathrm{\prime }}$ فرق الطور الجديد بين التوتّر والشدّة:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}\cos {\bar{\phi }}^{\mathrm{\prime }}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل طريقٌ آخر: $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=P_{{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}_R}+P_{{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}_L}+P_{{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}_C}$، أي $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }2}+(0+0)$، ثمّ $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=5\mathrm{A}$، و$\cos {\bar{\phi }}^{\mathrm{\prime }}=1$ «(تُعطى ضمناً)»، و$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{3<!--\; -->0}\times (5{)}^2$، و$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{7<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{W}$؛ ودرجاته على الترتيب $5$ و$1$ و$1$ و$3$ و$1+1$، ومجموعها $\mathrm{1<!--\; -->2}$ أيضاً.

   الجوابالدرجة: 1

   في حالة الطنين ممانعة الدارة $Z=R$، والتوتّر المنتج للمأخذ $\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{V}$ لم يتغيّر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{R}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}}{\mathrm{3<!--\; -->0}}}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=5\mathrm{A}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   وفي الطنين التوتّر على توافقٍ بالطور مع الشدّة، ${\bar{\phi }}^{\mathrm{\prime }}=0$:

   $$\cos {\bar{\phi }}^{\mathrm{\prime }}=1$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=5\times \mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->0}\times 1$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{7<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{W}$$

   وهي $R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }2}=\mathrm{3<!--\; -->0}\times \mathrm{2<!--\; -->5}$ أيضاً: المقاومة وحدها تستهلك الاستطاعة، والوشيعة مهملة المقاومة والمكثّفة لا تستهلكان استطاعةً متوسّطة.