المسألة الأولى من امتحان 2018، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب قيمة ثابت فتل السلك $k$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل غير المتخامد:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   في سلّم التصحيح: طريقةٌ ثانية: $k={\omega }_0^2{I}_{\mathrm{\Delta }}$، مع ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=\frac{2\pi }{2}=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، وبجانبها: «ينال الدرجة المخصصة في الطلب الثاني إذا لم يحل الطلب الثاني»؛ فـ $k={\pi }^2\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}$.

   العلاقةالدرجة: 1

   عزم عطالة الجملة حول السلك عزم عطالة الساق $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}$ مضافاً إليه عزما عطالة الكتلتين، لكلٍّ منهما $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}^{\mathrm{\prime }}}$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}+2I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}{m}^{\mathrm{\prime }}}$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «(تُعطى ضمناً)».

   العلاقةالدرجة: 5

   الساق مهملة الكتلة، فعزم عطالتها معدوم؛ وكلّ كتلةٍ نقطيّة على بعد ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ من السلك، فعزم عطالتها $m_1{\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=2m_1{\displaystyle \frac{L^2}{4}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $m_1=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$ و$L=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=2\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{2}}\right)}^2$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في علاقة الدور الخاصّ:

   $$2=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{k}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$k=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$$

   لأنّ $k={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{I}_{\mathrm{\Delta }}}{T_0^2}}={\pi }^2\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$.

2. 2. استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقاً من شكله العام.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «يخسر درجتان ويتابع له عند إغفال $\phi$، ويخسر درجة واحدة إذا كتب $\omega$ بدلاً من ${\omega }_0$».

   العلاقةالدرجة: 1+1

   في اللحظة $t=0$ تُترك الساق دون سرعة، فسرعتها الزاويّة معدومة:

   $$t=0,\bar{\omega }=0$$

   في سلّم التصحيح: بجانبهما: «أو: ترك بدون سرعة ابتدائية (في اللحظة $t=0$). أو: $v=0$».

   العلاقةالدرجة: 3

   فهي عندئذٍ في أبعد مطالٍ عن وضع التوازن، وسعتها الزاويّة زاوية الإدارة:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   النبض الخاصّ من الدور الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$$

   في سلّم التصحيح: بجانب هذا السطر والسطرين بعده: «تُعطى لمرة واحدة أينما وردت».

   التعويضالدرجة: 3

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $${\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 3+1+1

   نعوّض شروط البدء $t=0$، $\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos (0+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 6

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos \pi t$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

3. 3. احسب قيمة السرعة الزاوية للنواس لحظة مروره الأول بوضع التوازن.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3

   تُترك الساق من مطالها الأعظميّ، فتبلغ وضع التوازن أوّل مرّة بعد ربع دور:

   $$t={\displaystyle \frac{T_0}{4}}$$

   في سلّم التصحيح: بجانب هذا السطر والسطر بعده: «عند المرور بوضع التوازن تكون السرعة عظمى».

   التعويضالدرجة: 2

   $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{s}$$

   وهو أصغر حلٍّ موجب لـ $\cos \pi t=0$.

   العلاقةالدرجة: 5

   السرعة الزاويّة مشتقّ المطال الزاويّ بالنسبة للزمن، مع $\bar{\phi }=0$:

   $$\bar{\omega }=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل: ${\omega }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\pi \times \frac{\pi }{3}$، ثمّ $\bar{\omega }=-{\omega }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=-\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$\bar{\omega }=-\pi \times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin (\pi \times {\displaystyle \frac{1}{2}})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{\omega }=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ $\sin \frac{\pi }{2}=1$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$. والإشارة سالبة: في المرور الأوّل تعود الساق من مطالها الموجب نحو وضع التوازن، أي بالاتّجاه السالب.

   في سلّم التصحيح: «إغفال إشارة السالب يخسر (5 + 1 درجة الجواب)».

4. 4. نجعل طول سلك الفتل نصف ما كان عليه. احسب الدور الخاص الجديد $T_0^{\mathrm{\prime }}$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   ثابت فتل السلك، و$k^{\mathrm{\prime }}$ ثابتٌ يتعلّق بنوع مادّته، و$2r$ قطره، و$l$ طوله:

   $$k=k^{\mathrm{\prime }}{\displaystyle \frac{(2r{)}^4}{l}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل طريقٌ آخر: «يقبل أي تعبير صحيح يربط بين $k$ و$l$»، ثمّ $\frac{T_0}{T_0^{\mathrm{\prime }}}=\sqrt{\frac{l}{l^{\mathrm{\prime }}}}$، و$\frac{T_0}{T_0^{\mathrm{\prime }}}=\sqrt{\frac{l}{l\mathrm{/}2}}$، و$\frac{T_0}{T_0^{\mathrm{\prime }}}=\sqrt{2}$، و$T_0^{\mathrm{\prime }}=\frac{2}{\sqrt{2}}$، و$T_0^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{2}\mathrm{s}$؛ ودرجاته على الترتيب $5$ و$5$ و$2$ و$3$ و$3$ و$1+1$، ومجموعها $\mathrm{2<!--\; -->0}$ أيضاً.

   العلاقةالدرجة: 2

   السلك نفسه، فالمادّة والقطر لم يتغيّرا، وطوله الجديد $l^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{l}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle k_2=k^{\mathrm{\prime }}{\displaystyle \frac{(2r{)}^4}{l^{\mathrm{\prime }}}}}\\ {\displaystyle k_2=2k}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والساق والكتلتان نفسها، فعزم العطالة لم يتغيّر:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{2k}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نقسم على $T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{T_0}{\sqrt{2}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{2}\mathrm{s}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->1}\mathrm{s}$: السلك الأقصر ثابت فتله أكبر، فالدور أصغر.