المسألة الثانية من امتحان 2017، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الممانعة الكلية للدارة، وذاتية الوشيعة، وسعة المكثفة.(40 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   ممانعة مقاومةٍ ووشيعةٍ مهملة المقاومة ومكثّفةٍ على التسلسل:

   $$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$

   في سلّم التصحيح: في أعلى الطلب: يخسر درجة واحدة إذا كتب ${\omega }_0$ بدلاً من $\omega$ لمرة واحدة فقط.

   التعويضالدرجة: 3

   $$Z=\sqrt{(\mathrm{1<!--\; -->5}{)}^2+(\mathrm{4<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->0}{)}^2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$Z=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$$

   العلاقةالدرجة: 5

   ولحساب الذاتيّة والسعة نحتاج النبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\omega =2\pi \times \mathrm{5<!--\; -->0}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   ردّيّة الوشيعة:

   $$X_L=\omega L$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{4<!--\; -->0}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi L$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{2}{5\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->7}\mathrm{H}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   اتّساعيّة المكثّفة:

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{2<!--\; -->0}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi C}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$.

2. 2. احسب قيمة الشدة المنتجة للتيار المار في الدارة.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   قانون أوم للدارة كلّها:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=Z{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{5<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->5}\times I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=2\mathrm{A}$$

3. 3. احسب عامل استطاعة الدارة والاستطاعة المتوسطة المستهلكة فيها.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   عامل استطاعة الدارة:

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{R}{Z}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->5}}{\mathrm{2<!--\; -->5}}}$$

   الجوابالدرجة: 2

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   الاستطاعة المتوسّطة المستهلكة في الدارة:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\cos \bar{\phi }$$

   في سلّم التصحيح: تقبل أي طريقة صحيحة.

   التعويضالدرجة: 3

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{5<!--\; -->0}\times 2\times {\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{W}$$

   وهي الاستطاعة المستهلكة في المقاومة وحدها، $R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{1<!--\; -->5}\times 2^2=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{W}$، لأنّ الوشيعة مهملة المقاومة والمكثّفة لا تستهلكان استطاعةً متوسّطة.

4. $\text{4<!-- -->a}$. نضيف إلى المكثفة في الدارة السابقة مكثفة مناسبة سعتها $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ تجعل الدارة في حالة تجاوب كهربائي. المطلوب حساب: السعة المكافئة $C_{eq}$ للمكثفتين، ثمّ حدّد طريقة ضم المكثفتين.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   في حالة التجاوب الكهربائيّ، أي الطنين، تساوي ردّيّةُ الوشيعة اتّساعيّةَ المكثّفة المكافئة للمكثّفتين، فتكون الممانعة $Z=R$ والشدّة المنتجة أكبر ما يمكن:

   $$X_L={\displaystyle \frac{1}{\omega C_{eq}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   التواتر لم يتغيّر، $\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\mathrm{4<!--\; -->0}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi C_{eq}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C_{eq}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي نحو $\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{F}$.

   العلاقةالدرجة: 2

   نقارنها بسعة المكثّفة الأولى $C=\frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }\mathrm{F}$: السعة المكافئة نصفها.

   $$C_{eq}<C$$

   الجوابالدرجة: 3

   والسعة المكافئة لمكثّفتين على التسلسل أصغر من سعة كلٍّ منهما، وعلى التفرّع أكبر. فطريقة ضمّ المكثّفتين: الضمّ على التسلسل.

5. $\text{4<!-- -->b}$. سعة المكثفة المضافة $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   المكثّفتان على التسلسل يمرّ فيهما التيّار نفسه، وتوتّراهما على توافقٍ بالطور، كلاهما متأخّرٌ عن الشدّة بربع دور، فيُجمعان جمعاً عاديّاً، أي تُجمع اتّساعيّتاهما: $X_{eq}=X_C+X_{C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$، كما في المسألة الخامسة من الكتاب، الصفحة 152. ولأنّ اتّساعيّة كلّ مكثّفة مقلوبُ جداء سعتها في النبض:

   $${\displaystyle \frac{1}{C_{eq}}}={\displaystyle \frac{1}{C}}+{\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\frac{1}{C_{eq}}=\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi$ و$\frac{1}{C}=\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi =\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi +{\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي سعة المكثّفة الأولى نفسها. وللتحقّق: على التسلسل تُجمع الاتّساعيّتان، $\mathrm{2<!--\; -->0}+\mathrm{2<!--\; -->0}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$، وهي ردّيّة الوشيعة.