المسألة الأولى من امتحان 2017، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الدور الخاص لهذه الهزّازة.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ للنوّاس المرن:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر درجة واحدة إذا كتب $T$ بدلاً من $T_0$ لمرة واحدة فقط.

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\sqrt{4}=2$.

2. 2. استنتج التابع الزمني لمطال الحركة انطلاقاً من شكله العام.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   في سلّم التصحيح: يخسر درجة واحدة إذا كتب $\omega$ بدلاً من ${\omega }_0$ لمرة واحدة فقط.

   العلاقةالدرجة: 5

   النبض الخاصّ من الدور الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$$

   في سلّم التصحيح: طريقةٌ ثانية: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$، ${\omega }_0=\sqrt{\frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{2}}$، ${\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   التعويضالدرجة: 3

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $${\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقةالدرجة: 2

   شروط البدء: في اللحظة $t=0$ يُترك الجسم دون سرعة ابتدائيّة:

   $$t=0,{\bar{v}}_0=0$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «لأنه ترك دون سرعة ابتدائية في مطاله الأعظمي الموجب في اللحظة $t=0$».

   العلاقةالدرجة: 3

   فهو عندئذٍ في أبعد مطالٍ عن وضع التوازن، على بعد $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ تحته، أي في الاتّجاه الموجب، وهذه سعة الحركة:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}$$

   التعويضالدرجة: 3+1

   نعوّض شروط البدء في تابع المطال، $t=0$ و$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الجوابالدرجة: 6

   $$\bar{x}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\cos \pi t$$

   حيث $\bar{x}$ بالمتر و$t$ بالثانية.

3. 3. احسب سرعة الجسم لحظة مروره الأول في وضع التوازن.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   السرعة مشتقّ المطال بالنسبة للزمن، ومع $\bar{\phi }=0$:

   $$\bar{v}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t$$

   في سلّم التصحيح: طريقةٌ ثانية: «عند المرور بوضع التوازن تكون السرعة عظمى»: $v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ $(5)$، و$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\pi \times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$ $(3)$، و«بما أن الحركة بالاتجاه السالب» $(\mathrm{1<!--\; -->0})$، و$v=-\pi \times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ $(1+1)$.

   العلاقةالدرجة: 5

   يبدأ الجسم من أبعد مطال، فيمرّ بوضع التوازن أوّل مرّة بعد ربع دور:

   $$t={\displaystyle \frac{T_0}{4}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$t={\displaystyle \frac{2}{4}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{s}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{m}$:

   $$\bar{v}=-\pi \times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\times \sin (\pi \times {\displaystyle \frac{1}{2}})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{v}=-\pi \times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. والإشارة سالبة لأنّ الجسم بدأ من المطال الموجب تحت وضع التوازن، فهو يصعد نحوه عكس الاتّجاه الموجب. وقيمة السرعة نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، وهي أعظم قيمها.

4. 4. احسب الطاقة الميكانيكية لهذه الهزّازة.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   الطاقة الميكانيكيّة للهزّازة ثابتة، وفي المطال الأعظميّ تنعدم السرعة، فهي عندئذٍ كلّها كامنة:

   $$E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}k{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{2<!--\; -->0})(8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{)}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}=\mathrm{6<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6<!--\; -->4}\mathrm{J}$. والطاقة الكامنة فيها مقيسةٌ من وضع التوازن، كما يفعل الكتاب للجسم المعلّق في «تعلّمت»، الصفحة 12.