المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. عزمِ المُزدوَجة الكهرطيسيّة التي يخضعُ لها الإطارُ لحظةَ إمرارِ التيّار.

   العلاقة

   عزم المزدوجة الكهرطيسيّة، و$\alpha$ الزاوية بين الحقل والناظم على مستوي الإطار:

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=NIsB\sin \alpha$$

   التعويض

   مستوي الإطار يوازي الحقل، فـ $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، و$s=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0}\pi }}}\\ {\displaystyle \times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\end{array}$$

   الجواب

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}$$

2. 2. عملِ المُزدوَجة الكهرطيسيّة عندَما يدورُ الإطارُ من وضعِه السَّابق إلى وضعِ التَّوازُن المُستقِرّ.

   العلاقة

   بنظريّة مكسويل. في الوضع السابق يوازي الحقلُ مستوي الإطار، فالتدفّق معدوم؛ وفي التوازن المستقرّ يعامد الحقلُ المستوي، فالتدفّق أعظميّ:

   $$W=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=I(NBs-0)$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0}\pi }}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\end{array}$$

   الجواب

   $$W=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{J}$$

   له القيمة العدديّة نفسها التي للعزم الأعظميّ، لأنّ $INBs$ يظهر في كليهما.

3. $\text{b<!-- -->1}$. نقطعُ التيّارَ ونستبدلُ سلكَ التّعليق بسلكِ فتل شاقوليّ ثابِتٍ فتلُه $K$، بحيثُ يكونُ مُستوي الإطار يوازي خطوطَ الحقل المغناطيسيّ السّابق، ونمرِّرُ تيّاراً شدّتُه $2\mathrm{m}\mathrm{A}$، فيدورُ الإطارُ زاويةَ ${\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$، ثمَّ يتوازنُ. المطلوب: احسبِ التَّدفُّق المغناطيسيّ في الإطارِ عندَما يتوازَن.

   العلاقة

   دار الإطار ${\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$ من الوضع الذي كان فيه الحقل يوازي مستويه، فالزاوية بين الحقل والناظم عند التوازن $\alpha ={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }-{\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$:

   $$\mathrm{\Phi }=NBs\cos \alpha$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Phi }=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\mathrm{\Phi }=8\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{b}$$

4. $\text{b<!-- -->2}$. استنتج العلاقةَ المُحدِّدةَ لثابِت فتل سلكِ التّعليق انطلاقاً من شرطِ التَّوازُن الدَّورانيّ، ثمَّ احسبْ قيمتَه. (يُهملُ تأثيرُ الحقلِ المغناطيسيّ الأرضيّ).

   العلاقة

   عند التوازن يساوي عزمُ المزدوجة الكهرطيسيّة عزمَ مزدوجة الفتل، وزاوية الفتل زاوية الدوران نفسها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle NIsB\sin \alpha =K\theta }\\ {\displaystyle K={\displaystyle \frac{NIsB\sin \alpha }{\theta }}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $I=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$ و$\alpha ={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ و$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle NIsB=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle \times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle NIsB=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->2}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}\\ {\displaystyle K={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->2}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle K=\mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->6}\sqrt{3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}\\ {\displaystyle K\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}}\end{array}$$