المسألة السابعة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب سرعة جريان الماء عند النقطة $(\text{b})$ علماً أنَّ سرعة جريان الماء عند النقطة $(\text{a})$ $v_1=4\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   العلاقة

   معادلة الاستمراريّة: معدّل التدفّق الحجميّ واحدٌ عند $(\text{a})$ وعند $(\text{b})$، ومساحة مقطع الأنبوب $s=\pi r^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle s_1{v}_1=s_2{v}_2}\\ {\displaystyle \pi r_1^2{v}_1=\pi r_2^2{v}_2}\end{array}$$

   العلاقة

   ومنها:

   $$v_2=v_1{\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2$$

   التعويض

   نصفا القطرين بالواحدة نفسها، فلا حاجة إلى التحويل:

   $$v_2=4\times {\left({\displaystyle \frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}\right)}^2=4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   الجواب

   $$v_2=1\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   نصف القطر تضاعف، فالمقطع صار أربعة أضعاف ما كان، والسرعة ربع ما كانت.

2. 2. احسب قيمة فرق الضَّغط $(P_a-P_b)$ (${\rho }_{{\text{H}}_2\text{O}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-3}$).

   العلاقة

   معادلة برنولي بين $(\text{a})$ و$(\text{b})$، و$z$ ارتفاع كلٍّ منهما:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g{z}_a}\\ {\displaystyle =P_b+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2+\rho g{z}_b}\end{array}$$

   العلاقة

   النقطة $(\text{b})$ أعلى من $(\text{a})$ بمقدار $h$، أي $z_b-z_a=h$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_a-P_b={\displaystyle \frac{1}{2}}\rho (v_2^2-v_1^2)}\\ {\displaystyle +\rho gh}\end{array}$$

   التعويض

   مع $h=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$ و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_a-P_b=\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}\times (1-\mathrm{1<!--\; -->6})}\\ {\displaystyle +\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}\\ {\displaystyle P_a-P_b=-\mathrm{7<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}+\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}\end{array}$$

   الجواب

   $$P_a-P_b=-\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{P}\mathrm{a}$$

   الفرق سالب: الضغط عند $(\text{b})$ أكبر منه عند $(\text{a})$ بـ $\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{P}\mathrm{a}$، لأنّ تباطؤ الماء في الأنبوب العريض يرفع الضغط $\mathrm{7<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{P}\mathrm{a}$، والصعود $h$ يخفضه $\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{P}\mathrm{a}$ فقط.