المسألة الأولى من امتحان 2024، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الدور الخاص لهذا النواس، ثم احسب طول خيط النواس $l$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ مدّة هزّةٍ كاملة، والنوّاس ينجز $n$ هزّة في الزمن $t$:

   $$T_0={\displaystyle \frac{t}{n}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   السعة صغيرة، فالدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ البسيط:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض، ثمّ نقسم الطرفين على $2$ ونربّعهما مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 2=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}}\\ {\displaystyle 1=\mathrm{1<!--\; -->0}{\displaystyle \frac{l}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$l=1\mathrm{m}$$

2. 2. احسب دور النواس عندما يهتز بسعة زاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   السعة $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فهي سعةٌ زاويّة كبيرة، ودور النوّاس عندئذٍ:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=T_0[1+{\displaystyle \frac{{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}]$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2={\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}^2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}$، والسعة بالراديان:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=2[1+{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}]$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\mathrm{s}$$

   أطول قليلاً من $T_0=2\mathrm{s}$: الدور يطول حين تكبر السعة.

3. 3. نحرف خيط النواس عن وضع التوازن الشاقولي بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$، ونترك الكرة دون سرعة ابتدائية، استنتج بالرموز العلاقة المحددة للسرعة الخطية لكرة النواس لحظة مرورها بالشاقول، ثم احسب قيمتها.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 4

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة: ثقلها $\vec{w}$، وتوتّر الخيط $\vec{T}$. نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة بين وضعين: الأوّل لحظة الترك ${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، والثاني لحظة المرور بالشاقول ${\theta }_2=0$:

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1+1+1

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{T}}$$

   العلاقةالدرجة: 5+5

   $E_{k1}=0$ لأنّ الكرة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{T}}=0$ لأنّ حامل $\vec{T}$ يعامد الانتقال في كلّ لحظة، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض الكرة بين الوضعين:

   $${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=mgh$$

   العلاقةالدرجة: 6

   الكرة على بُعد $l$ من نقطة التعليق، فانخفاضها:

   $$h=l(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   العلاقةالدرجة: 6

   نعوّض $h$ ونختصر $m$، فالعلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$v=\sqrt{2gl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $l=1\mathrm{m}$ و$\cos {\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

   $$v=\sqrt{2\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times 1\times (1-\frac{1}{2})}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل $v=\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، لأنّ $\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}=\pi$ مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$.

4. 4. استنتج بالرموز العلاقة المحددة لشدة قوة توتر خيط النواس لحظة مروره بالشاقول، ثم احسب قيمتها.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2

   نطبّق العلاقة الأساسيّة في التحريك على الكرة لحظة مرورها بالشاقول:

   $$\sum \vec{F}=m\vec{a}$$

   العلاقةالدرجة: 2

   $$\vec{w}+\vec{T}=m\vec{a}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   بالإسقاط على الناظم، على محورٍ ينطبق على حامل $\vec{T}$ وبجهته:

   العلاقةالدرجة: 2

   $$-w+T=m{a}_c$$

   العلاقةالدرجة: 2

   والتسارع الناظميّ للكرة على مسارها الدائريّ الذي نصف قطره $l$:

   $$a_c={\displaystyle \frac{v^2}{l}}$$

   العلاقةالدرجة: 6

   مع $w=mg$، فالعلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T=m{\displaystyle \frac{v^2}{l}}+mg}\\ {\displaystyle T=m({\displaystyle \frac{v^2}{l}}+g)}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $v^2=\mathrm{1<!--\; -->0}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$ و$l=1\mathrm{m}$:

   $$T=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}({\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{1}}+\mathrm{1<!--\; -->0})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{N}$$

   ضعف ثقل الكرة $mg=5\mathrm{N}$: يزيد التوتّر على الثقل بالحدّ $m{\displaystyle \frac{v^2}{l}}=5\mathrm{N}$ الذي يُكسب الكرة تسارعها الناظميّ.