المسألة الأولى من امتحان 2023، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب عزم عطالة الساق حول سلك الفتل.(5 درجات)

   العلاقة

   السلك شاقوليّ يمرّ من منتصف الساق، والساق أفقيّة، فالسلك محورٌ عموديٌّ على الساق مارٌّ من مركزها، وعزم عطالتها حوله:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}m{l}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $l=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}{)}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I_{\mathrm{\Delta }}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$$

2. 2. استنتج قيمة الدور الخاص للنواس.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل غير المتخامد:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\sqrt{4}$.

3. 3. استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقاً من شكله العام.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   العلاقةالدرجة: 3

   في اللحظة $t=0$ تُترك الساق دون سرعة، فسرعتها الزاويّة $\bar{\omega }=0$، وهي عندئذٍ في أبعد مطالٍ عن وضع التوازن، فهذه سعتها الزاويّة:

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   النبض الخاصّ من الدور الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$$

   التعويضالدرجة: 2

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $${\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويضالدرجة: 3+2+1

   نعوّض شروط البدء $t=0$، $\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos \pi t$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

4. 4. احسب قيمة السرعة الزاوية للساق لحظة مرورها الثاني بوضع التوازن.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2

   عند المرور بوضع التوازن $\bar{\theta }=0$، فمن التابع الزمنيّ:

   $$\cos \pi t=0$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   حيث $n$ عددٌ صحيح، ولأنّ $t\ge 0$ فإنّ $n=0,1,2,\dots$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \pi t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n}\\ {\displaystyle t={\displaystyle \frac{1}{2}}+n}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 1

   المرور الأوّل عند $n=0$، والمرور الثاني عند $n=1$:

   $$t={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{s}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   السرعة الزاويّة مشتقّ المطال الزاويّ بالنسبة للزمن:

   $$\bar{\omega }=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\bar{\omega }=-\pi \times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\bar{\omega }={\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$. والقيمة موجبة: في المرور الثاني تعود الساق إلى وضع التوازن بالاتّجاه الموجب، وفي المرور الأوّل كانت $-\frac{5}{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

5. 5. احسب الطاقة الكامنة في وضع مطاله الزاويّ $\theta =\frac{\pi }{8}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ثمّ احسب الطاقة الحركية عندئذٍ.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الطاقة الكامنة لنوّاس الفتل عند المطال الزاويّ $\theta$:

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{\theta }^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{\left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)}^2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-1}\mathrm{J}$$

   لأنّ $\frac{{\pi }^2}{\mathrm{6<!--\; -->4}}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{6<!--\; -->4}}$.

   العلاقةالدرجة: 5

   نهمل الاحتكاك، فالطاقة الميكانيكيّة $E$ ثابتة، والطاقة الحركيّة هي الباقي منها:

   $$E_k=E-E_p$$

   العلاقةالدرجة: 3

   ونحسب $E$ في وضع المطال الأعظميّ، حيث الطاقة الحركيّة معدومة:

   $$E={\displaystyle \frac{1}{2}}k{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2$$

   التعويضالدرجة: 1+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}^2}\\ {\displaystyle E={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->2}}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-1}\mathrm{J}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   و$\frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->2}}=\frac{4}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}}$:

   $$E_k=({\displaystyle \frac{4}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}}})\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-1}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$E_k={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-1}\mathrm{J}$$

   أي نحو $\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$.