المسألة الأولى من امتحان 2022، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب دور النواس في حالة السعات الزاويّة الصغيرة.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 8

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   في سلّم التصحيح: تُعطى ضمناً عند التعويض الصحيح.

   العلاقةالدرجة: 2

   كتلة الجملة $m$ مجموع الكتلتين، لأنّ الساق مهملة الكتلة:

   $$m=m_1+m_2$$

   التعويضالدرجة: 2+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}}\\ {\displaystyle m=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{k}\mathrm{g}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزمَي عطالة الكتلتين النقطيّتين، والساق مهملة الكتلة:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=I_{{\mathrm{\Delta }}_1}+I_{{\mathrm{\Delta }}_2}$$

   العلاقةالدرجة: 2+2

   المحور في منتصف الساق، فكلّ كتلةٍ على بُعد $\frac{l}{2}$ منه:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=m_1{\left(\frac{l}{2}\right)}^2+m_2{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$$

   التعويضالدرجة: 2+1

   مع ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\times \frac{1}{4}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\times \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   $d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. نعدّ البعد موجباً تحت المحور وسالباً فوقه: $m_1$ فوق المحور على بُعد $r_1=\frac{l}{2}$، و$m_2$ تحته على بُعد $r_2=\frac{l}{2}$:

   $$d={\displaystyle \frac{-m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}}$$

   في سلّم التصحيح: أو $d=\frac{\sum m_i{\bar{r}}_i}{\sum m_i}$.

   التعويضالدرجة: 3+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\times \frac{1}{2}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\times \frac{1}{2}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}}}}\\ {\displaystyle d=\frac{1}{4}\mathrm{m}}\end{array}$$

   فمركز العطالة تحت المحور، ولذلك تهتزّ الجملة حول وضع توازنٍ مستقرّ.

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في علاقة الدور:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{4}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=2\sqrt{{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $2\sqrt{1}$.

2. 2. احسب طول النواس البسيط المواقت لهذا النواس.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   النوّاس البسيط المواقت دوره الخاصّ يساوي الدور الخاصّ $T_0$ للنوّاس المركّب. نسمّي طوله $l^{\mathrm{\prime }}$ ودوره $T_0^{\mathrm{\prime }}$، تمييزاً لهما من طول الساق $l$ ودور النوّاس المركّب:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=T_0$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والدور الخاصّ للنوّاس البسيط في السعات الصغيرة $2\pi \sqrt{\frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}$، و$T_0=2\mathrm{s}$ من الطلب السابق:

   $$2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}}=2$$

   التعويضالدرجة: 3

   بالتربيع، ومع $4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 4{\pi }^2{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}=4}\\ {\displaystyle \mathrm{4<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}=4}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$l^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$$

   تحقّق بعلاقة طول النوّاس البسيط المواقت: $l^{\mathrm{\prime }}=\frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{md}=\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}=1\mathrm{m}$.

3. $\text{3<!-- -->a}$. نزيح الساق عن وضع توازنها الشاقولي بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ ونتركها دون سرعة ابتدائية: استنتج بالرموز علاقة السرعة الزاوية لجملة النواس لحظة مرورها بشاقول محور التعليق، ثمّ احسب قيمتها عندئذٍ.(28 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1+1

   نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على جملة النوّاس بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ },{\theta }_2=0$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل تحديد الوضعين الصّحيحين على الرّسم.

   العلاقةالدرجة: 3

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}(1\to 2)}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$:

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   الجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة:

   $$E_{k1}=0$$

   في سلّم التصحيح: تُعطى أينما وردت.

   العلاقةالدرجة: 1

   ونقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل:

   $${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$$

   العلاقةالدرجة: 3+3

   الطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور حول محورٍ ثابت $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة:

   $$\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=mgh$$

   العلاقةالدرجة: 3

   مركز العطالة على بُعد $d$ من المحور، فانخفاضه بين الوضعين:

   $$h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   في سلّم التصحيح: تُعطى ضمناً.

   العلاقةالدرجة: 5

   نعوّض $h$ ونستخرج $\omega$:

   $$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}{I_{\mathrm{\Delta }}}}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل الاستنتاج في الحالة العامّة.

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\cos {\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

   $$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{4}(1-\frac{1}{2})}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}}}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر $3$ درجات + درجة الجواب عند الغلط في حساب $h$.

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$\omega =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ ما تحت الجذر $\frac{3}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}=\mathrm{1<!--\; -->0}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}=\pi$.

   في سلّم التصحيح: تُقبل $\omega =\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

4. $\text{3<!-- -->b}$. احسب السرعة الخطيّة للكتلة النقطية $m_2$ لحظة مرورها بالشاقول.(7 درجات)

   العلاقةالدرجة: 3

   كلّ نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاويّة نفسها $\omega$، والكتلة $m_2$ على بُعد $r=\frac{l}{2}$ من المحور:

   $$v=\omega r$$

   في سلّم التصحيح: أو $v=\omega \frac{l}{2}$، يُقبل أيّ رمز منسجم مع التعويض الصحيح.

   التعويضالدرجة: 2

   $$v=\pi \times \frac{1}{2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v=\frac{\pi }{2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->7}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.