المسألة الأولى من امتحان 2020

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الدور الخاص لهذا النواس عندما يهتز بسعة زاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ البسيط في السعات الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{L}{g}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}$$

   الجوابالدرجة: 2

   ندخل $\pi$ تحت الجذر مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}}\\ {\displaystyle T_0=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{s}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   السعة $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فهي سعةٌ زاويّة كبيرة، ودور النوّاس عندئذٍ:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=T_0[1+{\displaystyle \frac{{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}]$$

   التعويضالدرجة: 3

   والسعة بالراديان:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4}[1+{\displaystyle \frac{{\left(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\right)}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}]$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{s}$$

   أطول قليلاً من $T_0=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{s}$: الدور يطول حين تكبر السعة.

2. 2. نزيح النواس عن وضع التوازن بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ ويترك دون سرعة ابتدائية، فتكون السرعة الخطية لكرة النواس لحظة مرورها بالشاقول $v={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2}}{\pi }}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، احسب قيمة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1+1

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة: ثقلها $\vec{w}$، وتوتّر الخيط $\vec{T}$. نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}\\ {\displaystyle {\theta }_2=0}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل تحديد الوضعين الصحيحين على الرسم.

   العلاقةالدرجة: 4

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{T}}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   $E_{k1}=0$ لأنّ الكرة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{T}}=0$ لأنّ حامل $\vec{T}$ يعامد الانتقال في كلّ لحظة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_{k1}=0}\\ {\displaystyle {\bar{W}}_{\vec{T}}=0}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: تُعطى أينما وردت.

   العلاقةالدرجة: 5+5

   و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$، حيث $h$ انخفاض الكرة بين الوضعين:

   $${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-0=mgh+0$$

   في سلّم التصحيح: يخسر الطالب $\mathrm{1<!--\; -->0}$ درجات ويُتابَع له إذا انطلق من العلاقة $v^2=2gL(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$.

   العلاقةالدرجة: 2

   الكرة على بُعد $L$ من نقطة التعليق، فانخفاضها:

   $$h=L(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   في سلّم التصحيح: تُعطى ضمناً.

   العلاقةالدرجة: 3

   نعوّض $h$ ونختصر $m$، ثمّ نعزل $\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$:

   $$\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-{\displaystyle \frac{v^2}{2gL}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل الاستنتاج في الحالة العامّة.

   التعويضالدرجة: 3

   مع $v^2={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}{{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$ و$L=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}\times 2\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}}}}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   وهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ المسألة.

3. 3. استنتج بالرموز علاقة توتر خيط النواس لحظة مروره بالشاقول، ثم احسب قيمتها.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3

   نطبّق العلاقة الأساسيّة في التحريك على الكرة لحظة مرورها بالشاقول:

   $$\sum \vec{F}=m\vec{a}$$

   العلاقةالدرجة: 2+2+2

   $$\vec{w}+\vec{T}=m\vec{a}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل تحديد القوى على الرسم.

   العلاقةالدرجة: 2+2+2

   بالإسقاط على محورٍ ينطبق على حامل $\vec{T}$ وبجهته (الناظم)، والتسارع الناظميّ للكرة على مسارها الدائريّ الذي نصف قطره $L$ هو $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{L}}$:

   $$-w+T=m{a}_c$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل استنتاج علاقة $T$ بالحالة العامّة.

   العلاقةالدرجة: 10

   مع $w=mg$، فالعلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$T=mg+m{\displaystyle \frac{v^2}{L}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $m=\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{g}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{k}\mathrm{g}$ و$v^2={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$:

   $$T=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}(\mathrm{1<!--\; -->0}+{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}}})$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T=6\mathrm{N}$$

   ضعف ثقل الكرة $mg=3\mathrm{N}$، ويوافق ذلك علاقة الكتاب $T=mg(3-2\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$ مع $\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.