المسألة الأولى من امتحان 2018، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب الدور الخاص لهذا النواس من أجل نوسات صغيرة السعة.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   العلاقةالدرجة: 1

   كتلة الجملة $m$ مجموع كتلتَي الساق والكتلة النقطيّة:

   $$m=m_1+m_2$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle m=3+1}\\ {\displaystyle m=4\mathrm{k}\mathrm{g}}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   $d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. مركز عطالة الساق المتجانسة في منتصفها، أي على المحور، والكتلة $m_2$ تحته على بُعد $\frac{l}{2}$:

   $$d={\displaystyle \frac{m_1\times 0+m_2\frac{l}{2}}{m_1+m_2}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$d={\displaystyle \frac{1\times \frac{1}{2}}{4}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$d=\frac{1}{8}\mathrm{m}$$

   فمركز العطالة تحت المحور، ولذلك تهتزّ الجملة حول وضع توازنٍ مستقرّ.

   العلاقةالدرجة: 5

   عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزم عطالة الساق حول محورٍ عموديٍّ عليها مارٍّ من منتصفها، وعزم عطالة الكتلة النقطيّة على بُعد $\frac{l}{2}$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}{m}_1{l}^2+m_2\frac{l^2}{4}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}\times 3\times (1{)}^2+1\times \frac{1}{4}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$$

   التعويضالدرجة: 3

   نعوّض في علاقة الدور:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{4\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{8}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

   لأنّ ما تحت الجذر $\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}{5}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$، و$2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=2\sqrt{{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $2\sqrt{1}$.

2. 2. احسب طول النواس الثقلي البسيط المواقت لهذا النواس.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   النوّاس البسيط المواقت دوره الخاصّ يساوي الدور الخاصّ $T_0$ للنوّاس المركّب. نسمّي طوله $l^{\mathrm{\prime }}$ ودوره $T_0^{\mathrm{\prime }}$، تمييزاً لهما من طول الساق $l$ ودور النوّاس المركّب:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=T_0$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والدور الخاصّ للنوّاس البسيط في السعات الصغيرة $2\pi \sqrt{\frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}$، و$T_0=2\mathrm{s}$ من الطلب السابق:

   $$2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{g}}}=2$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}=2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$l^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$$

   بالتربيع $4{\pi }^2\frac{l^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=4$، ومع $4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$ يصير $l^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$. وتحقّقٌ بعلاقة طول النوّاس البسيط المواقت: $l^{\mathrm{\prime }}=\frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{md}=\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}{4\times \frac{1}{8}}=1\mathrm{m}$.

3. $\text{3<!-- -->a}$. نزيح الساق عن وضع توازنها الشاقولي بسعة زاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، ونتركها دون سرعة ابتدائية، فتكون السرعة الزاويّة للنواس لحظة المرور بالشاقول $\omega =\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. المطلوب حساب: السرعة الخطيّة للكتلة النقطيّة $m_2$ لحظة المرور بالشاقول.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   كلّ نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاويّة نفسها $\omega$، والكتلة $m_2$ على بُعد $\frac{l}{2}$ من المحور:

   $$v_2=\omega \frac{l}{2}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$v_2=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times \frac{1}{2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v_2=\frac{\pi }{2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   لأنّ $\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}=\pi$ مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$، أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->8}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   في سلّم التصحيح: بجانب الجواب: $v_2={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}}{2}}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

4. $\text{3<!-- -->b}$. قيمة السعة الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ (علماً أنّ ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$).(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 1+1

   السعة كبيرة، ونظريّة الطاقة الحركيّة لا تحتاج تقريب السعات الصغيرة. نطبّقها على جملة النوّاس بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}},{\theta }_2=0$$

   في سلّم التصحيح: يقبل: الرسم الصحيح.

   العلاقةالدرجة: 5

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}(1\to 2)}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1+1+1

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$:

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}$$

   العلاقةالدرجة: 1+1

   نقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل:

   $${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$$

   العلاقةالدرجة: 1

   والجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة:

   $$E_{k1}=0$$

   العلاقةالدرجة: 5+5

   الطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور حول محورٍ ثابت $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة:

   $$\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=mgh$$

   العلاقةالدرجة: 5

   مركز العطالة على بُعد $d$ من المحور، فانخفاضه بين الوضعين:

   $$h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$ و$m=4\mathrm{k}\mathrm{g}$ و$d=\frac{1}{8}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times {\left(\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\right)}^2}\\ {\displaystyle =4\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{8}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 1

   أي $\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}=5(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{\pi }{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   أي ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$، ونحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ السؤال.