المسألة الأولى من امتحان 2016، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. استنتج بالرموز العلاقة المحددة للدور الخاص لهذا النواس بدلالة نصف قطره $r$ انطلاقا من علاقة الدور الخاص للنواس الثقلي المركب في حالة السعات الزاوية الصغيرة، ثم احسب قيمته.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   العلاقةالدرجة: 2

   عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزم عطالة القرص حول محورٍ مارٍّ من مركزه وعموديٍّ على مستويه، وعزم عطالة الكتلة النقطيّة:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}C}+I_{m_2\mathrm{/}\mathrm{\Delta }}$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: $I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}{m}_1{r}_1^2+I_{m_2\mathrm{/}\mathrm{\Delta }}$.

   العلاقةالدرجة: 1

   الكتلة النقطيّة على محيط القرص، فبُعدها عن المحور نصف القطر $r_2=r_1=r$:

   $$I_{m_2\mathrm{/}\mathrm{\Delta }}=m_2{r}_2^2$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «أينما وردت».

   العلاقةالدرجة: 2

   مع $m_2=m_1$: $I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}{m}_1{r}^2+m_1{r}^2$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{3}{2}{m}_1{r}^2$$

   العلاقةالدرجة: 2

   $d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. مركز عطالة القرص المتجانس في مركزه، أي على المحور، والكتلة $m_2$ على بُعد $r_2=r$ منه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{m_2{r}_2}{m_1+m_2}}}\\ {\displaystyle d={\displaystyle \frac{m_{1}r}{2m_1}}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: أو ينال $3$ درجات إذا كتب: $m_1=m_2\Rightarrow d={\displaystyle \frac{r}{2}}$.

   العلاقةالدرجة: 1

   $$d=\frac{r}{2}$$

   أي $\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}\mathrm{m}$. وفي وضع التوازن المستقرّ تكون الكتلة النقطيّة تحت المحور، ومركز العطالة في منتصف المسافة بينهما.

   في سلّم التصحيح: يخسر $3$ درجات عند الغلط في حساب $d$ ويتابع له.

   العلاقةالدرجة: 2

   كتلة الجملة مجموع كتلتَي القرص والكتلة النقطيّة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle m=m_1+m_2}\\ {\displaystyle m=2m_1}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر درجتين عند الغلط في حساب $m$ ويتابع له.

   العلاقةالدرجة: 5

   نعوّض في علاقة الدور، فتُختصر $m_1$ وإحدى $r$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{3}{2}{m}_1{r}^2}{2m_{1}g\frac{r}{2}}}}}\\ {\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{3r}{2g}}}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: بجانب العلاقة الأولى: يخسر $5$ درجات إذا انطلق منها ويتابع له. وبجانب الثانية: يخسر درجتين فقط إذا كتب $T_0=2\sqrt{{\displaystyle \frac{3r}{2}}}$ ويتابع له.

   التعويضالدرجة: 3

   مع $r=\frac{1}{6}\mathrm{m}$، فـ $3r=\frac{3}{6}$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2\times 6\times \mathrm{1<!--\; -->0}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$T_0=1\mathrm{s}$$

   لأنّ $T_0^2=4{\pi }^2\times \frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}$، ومع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير $\mathrm{4<!--\; -->0}\times \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0}}=1$.

2. 2. احسب طول النواس الثقلي البسيط المواقت لهذا النواس.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   النوّاس البسيط المواقت دوره الخاصّ يساوي الدور الخاصّ للنوّاس المركّب. نسمّي دوره $T_0^{\mathrm{\prime }}$ وطوله $l$:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=T_0$$

   العلاقةالدرجة: 5

   والدور الخاصّ للنوّاس البسيط في السعات الصغيرة $2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$:

   $$2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}=T_0$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «لتعويض دور النواس الثقلي البسيط».

   التعويضالدرجة: 3

   مع $T_0=1\mathrm{s}$ من الطلب السابق:

   $$2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}=1$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$l=\frac{1}{4}\mathrm{m}$$

   بالتربيع $4{\pi }^2\frac{l}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=1$، ومع $4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$ يصير $l=\frac{1}{4}\mathrm{m}$. وتحقّقٌ بعلاقة طول النوّاس البسيط المواقت: $l=\frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{md}=\frac{\frac{3}{2}{m}_1{r}^2}{2m_1\frac{r}{2}}=\frac{3r}{2}=\frac{1}{4}\mathrm{m}$.

3. 3. نزيح الجملة عن وضع توازنها الشاقولي بسعة زاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ ونتركها دون سرعة ابتدائية فتكون السرعة الخطية لمركز عطالة الجملة لحظة المرور بالشاقول $v=\frac{\pi }{6}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، احسب قيمة السعة الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ (إذا علمت أن ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$).(50 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 2+2

   السعة كبيرة، ونظريّة الطاقة الحركيّة لا تحتاج تقريب السعات الصغيرة. نطبّقها على الجملة بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}},{\theta }_2=0$$

   في سلّم التصحيح: تقبل ضمناً عند التعويض الصحيح لحساب $h$.

   العلاقةالدرجة: 5

   $$\mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}(1\to 2)}$$

   العلاقةالدرجة: 4+4

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$:

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر درجتين إذا كتب ${\bar{W}}_{\vec{T}}$ بدلاً من ${\bar{W}}_{\vec{R}}$.

   العلاقةالدرجة: 3

   نقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل:

   $${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$$

   العلاقةالدرجة: 5+5

   الجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، $E_{k1}=0$؛ والطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور حول محورٍ ثابت $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$؛ و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة و$m=2m_1$:

   $$\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2-0=2m_{1}gh+0$$

   في سلّم التصحيح: إذا كتب $\frac{1}{2}m{v}^2$ يخسر ($\mathrm{1<!--\; -->4}$ درجة): ($5$ لعلاقة $E_k$ + $5$ لعلاقة $\omega$ + $3$ تعويضها + $1$ للجواب).

   العلاقةالدرجة: 5

   مركز العطالة على بُعد $d=\frac{r}{2}$ من المحور، فانخفاضه بين الوضعين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\\ {\displaystyle h=\frac{r}{2}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   فـ $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=2m_{1}g\frac{r}{2}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$. وسرعة مركز العطالة $v=\omega d$، فـ $\omega =\frac{v}{d}=\frac{v}{r\mathrm{/}2}$؛ ونعوّض $I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{3}{2}{m}_1{r}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}{m}_1{r}^2\times {\displaystyle \frac{v^2}{{\left(\frac{r}{2}\right)}^2}}}\\ {\displaystyle =2m_{1}g\frac{r}{2}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: طريقةٌ ثانية بالدرجات نفسها: $\omega ={\displaystyle \frac{v}{d}}$، ثمّ $\omega ={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}6}{1\mathrm{/}\mathrm{1<!--\; -->2}}}$، $\omega =2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، ثمّ $\frac{3}{2}{m}_1{r}^2(2\pi {)}^2$ يساوي $2m_1{\pi }^{2}r(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$، و$\frac{1}{2}=1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، و$\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}$.

   العلاقةالدرجة: 3

   نبسّط الطرف الأيسر إلى $3m_1{v}^2$، والأيمن إلى $m_{1}gr(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$، ونقسم على $m_1$:

   $$3v^2=gr(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$3{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^2=\mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{6}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   التعويضالدرجة: 2

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يصير الطرف الأيسر $\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2}}$، ونقسم على $\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}=\frac{1}{6}(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\\ {\displaystyle 1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{1}{2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{\pi }{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ السؤال.

   في سلّم التصحيح: أو ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$.