الدرس 3: الاهتزازاتُ غيرُ التوافقيّةِ النوّاس الثقليّ غيرُ المتخامدِ

المسألة الأولى من امتحان 2016، الدورة الأولى

95 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2016، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

$g = 10 m . s^{- 2}$ ، $π^{2} = 10$ ، $I_{Δ / c} = \frac{1}{12} m_{1} l^{2}$ (عزم عطالة الساق حول محور عمودي عليها ومار من منتصفها)

يتألف نواس ثقلي مركب من ساق متجانسة طولها $l = \frac{3}{2} m$ وكتلتها $m_{1}$ نجعلها شاقولية ونعلّقها من محور أفقي ثابت عمودي على مستويها الشاقولي ومار من منتصفها ونثبت في طرفها السفلي كتلة نقطية $m_{2} = m_{1}$ .

المطلوب:

1.استنتج بالرموز العلاقة المحدّدة للدور الخاص لهذا النواس بدلالة طول الساق $l$ انطلاقاً من العلاقة العامة لدور النواس الثقلي في حالة السعات الزاويّة الصغيرة، ثمّ احسب قيمته.
2.احسب طول النواس الثقلي البسيط المواقت لهذا النواس.
3.نزيح الجملة السابقة عن وضع توازنها الشاقولي بسعة زاوية $θ_{max} = 60^{\circ}$ ، ونتركها دون سرعة ابتدائية، استنتج بالرموز العلاقة المحدّدة للسرعة الزاوية للجملة لحظة مرورها بشاقول محور التعليق، ثمّ احسب قيمتها.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. استنتج بالرموز العلاقة المحدّدة للدور الخاص لهذا النواس بدلالة طول الساق $l$ انطلاقاً من العلاقة العامة لدور النواس الثقلي في حالة السعات الزاويّة الصغيرة، ثمّ احسب قيمته.(30 درجةً)
العلاقةالدرجة: 5
العلاقة العامّة للدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السعات الزاويّة الصغيرة:
$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{I_{Δ}}{m g d}}$
العلاقةالدرجة: 5
عزم عطالة الجملة حول المحور مجموع عزم عطالة الساق حول محورٍ عموديٍّ عليها مارٍّ من منتصفها، وعزم عطالة الكتلة النقطيّة:
$I_{Δ} = I_{Δ / c} + I_{m_{2} / Δ}$
العلاقةالدرجة: 2
$r_{2}$ بُعد الكتلة النقطيّة عن المحور:
$I_{Δ} = \frac{1}{12} m_{1} l^{2} + m_{2} r_{2}^{2}$
العلاقةالدرجة: 2
الكتلة $m_{2}$ في طرف الساق، والمحور في منتصفها:
$I_{Δ} = \frac{1}{12} m_{1} l^{2} + m_{2} {(\frac{l}{2})}^{2}$
في سلّم التصحيح: بجانبها: $r_{2} = \frac{l}{2}$ .
العلاقةالدرجة: 2
ومع $m_{2} = m_{1}$ يصير $\frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$ :
$I_{Δ} = \frac{1}{3} m_{1} l^{2}$
العلاقةالدرجة: 2
$d$ بُعد مركز عطالة الجملة عن محور الدوران. مركز عطالة الساق المتجانسة في منتصفها، أي على المحور، والكتلة $m_{2}$ تحته على بُعد $\frac{l}{2}$ ، و $m_{2} = m_{1}$ :
$\begin{array}{c} d = \frac{m_{1} \times 0 + m_{2} \frac{l}{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ d = \frac{l}{4} \end{array}$
فمركز العطالة تحت المحور، ولذلك تهتزّ الجملة حول وضع توازنٍ مستقرّ.
في سلّم التصحيح: بجانبها: $d = \frac{(0) + m_{2} \frac{l}{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{l}{4}$ ، ويخسر الطالب درجتين ويُتابع له عند الغلط في حساب $d$ .
العلاقةالدرجة: 2
كتلة الجملة مجموع كتلتَي الساق والكتلة النقطيّة:
$m = m_{1} + m_{2} = 2 m_{1}$
في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجتين ويُتابع له عند الغلط في حساب $m$ .
العلاقةالدرجة: 5
نعوّض في العلاقة العامّة، فـ $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{\frac{1}{3} m_{1} l^{2}}{2 m_{1} g \frac{l}{4}}}$ ، ونختصر $m_{1}$ و $l$ :
$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{2 l}{3 g}}$
التعويضالدرجة: 3
$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{2 \times \frac{3}{2}}{3 \times 10}}$
الجوابالدرجة: 1+1
$T_{0} = 2 s$
لأنّ ما تحت الجذر $\frac{3}{30} = 0.1$ ، و $2 π \sqrt{0.1} = 2 \sqrt{π^{2} \times 0.1}$ ، ومع $π^{2} = 10$ يصير $2 \sqrt{1}$ .
2. احسب طول النواس الثقلي البسيط المواقت لهذا النواس.(15 درجةً)
العلاقةالدرجة: 5
النوّاس البسيط المواقت دوره الخاصّ يساوي الدور الخاصّ $T_{0}$ للنوّاس المركّب. نسمّي طوله $l^{'}$ ودوره $T_{0}^{'}$ ، تمييزاً لهما من طول الساق $l$ ودور النوّاس المركّب:
$T_{0}^{'} = T_{0}$
العلاقةالدرجة: 5
والدور الخاصّ للنوّاس البسيط في السعات الصغيرة $2 π \sqrt{\frac{l^{'}}{g}}$ :
$2 π \sqrt{\frac{l^{'}}{g}} = T_{0}$
التعويضالدرجة: 3
مع $T_{0} = 2 s$ من الطلب السابق:
$2 π \sqrt{\frac{l^{'}}{10}} = 2$
الجوابالدرجة: 1+1
$l^{'} = 1 m$
بالتربيع $4 π^{2} \frac{l^{'}}{10} = 4$ ، ومع $4 π^{2} = 40$ يصير $l^{'} = 1 m$ . وتحقّقٌ بعلاقة طول النوّاس البسيط المواقت: $l^{'} = \frac{I_{Δ}}{m d} = \frac{\frac{1}{3} m_{1} l^{2}}{2 m_{1} \frac{l}{4}} = \frac{2 l}{3} = 1 m$ .
3. نزيح الجملة السابقة عن وضع توازنها الشاقولي بسعة زاوية $θ_{max} = 60^{\circ}$ ، ونتركها دون سرعة ابتدائية، استنتج بالرموز العلاقة المحدّدة للسرعة الزاوية للجملة لحظة مرورها بشاقول محور التعليق، ثمّ احسب قيمتها.(50 درجةً)
العلاقةالدرجة: 2+2
نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على جملة النوّاس بين وضعين: الأوّل لحظة الترك، والثاني لحظة المرور بالشاقول:
${\overset{ˉ}{θ}}_{1} = θ_{max}, {\overset{ˉ}{θ}}_{2} = 0$
في سلّم التصحيح: تُعطى ضمناً.
العلاقةالدرجة: 5
$Δ {\overset{ˉ}{E}}_{k} = \sum {\overset{ˉ}{W}}_{\vec{F} (1 \to 2)}$
العلاقةالدرجة: 4+4
القوى الخارجيّة المؤثّرة في الجملة: ثقلها $\vec{w}$ في مركز عطالتها، وردّ فعل المحور $\vec{R}$ :
$E_{k 2} - E_{k 1} = {\overset{ˉ}{W}}_{\vec{w}} + {\overset{ˉ}{W}}_{\vec{R}}$
العلاقةالدرجة: 3
نقطة تأثير $\vec{R}$ على المحور لا تنتقل:
${\overset{ˉ}{W}}_{\vec{R}} = 0$
في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجتين إذا كتب ${\overset{ˉ}{W}}_{\vec{T}}$ بدلاً من ${\overset{ˉ}{W}}_{\vec{R}}$ .
العلاقةالدرجة: 5+5
الجملة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، فـ $E_{k 1} = 0$ ؛ والطاقة الحركيّة لجسمٍ صلب يدور حول محورٍ ثابت $\frac{1}{2} I_{Δ} ω^{2}$ ، و ${\overset{ˉ}{W}}_{\vec{w}} = m g h$ حيث $h$ انخفاض مركز العطالة:
$\frac{1}{2} I_{Δ} ω^{2} - 0 = m g h + 0$
العلاقةالدرجة: 5
$ω = \sqrt{\frac{2 m g h}{I_{Δ}}}$
العلاقةالدرجة: 5
مركز العطالة على بُعد $d$ من المحور، فانخفاضه بين الوضعين:
$h = d (1 - \cos θ_{max})$
في سلّم التصحيح: بجانبها: $h = d (\cos {\overset{ˉ}{θ}}_{2} - \cos {\overset{ˉ}{θ}}_{1})$ .
العلاقةالدرجة: 5
نعوّض $m = 2 m_{1}$ و $d = \frac{l}{4}$ و $I_{Δ} = \frac{1}{3} m_{1} l^{2}$ ، فـ $ω = \sqrt{\frac{4 m_{1} g \frac{l}{4} (1 - \cos θ_{max})}{\frac{1}{3} m_{1} l^{2}}}$ ، ونختصر:
$ω = \sqrt{\frac{3 g (1 - \cos θ_{max})}{l}}$
في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجتين فقط عند الغلط في تعويض $d$ أو $m$ ويُتابع له.
التعويضالدرجة: 3
مع $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ :
$ω = \sqrt{\frac{3 \times 10 (1 - \frac{1}{2})}{\frac{3}{2}}}$
الجوابالدرجة: 1+1
$ω = \sqrt{10} r a d . s^{- 1}$
لأنّ ما تحت الجذر $\frac{15}{1.5} = 10$ ، ومع $π^{2} = 10$ يصير $ω = π r a d . s^{- 1}$ .
في سلّم التصحيح: أو: $ω = π r a d . s^{- 1}$ .