المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ تواتُرَ الاهتزازاتِ الكهربائيّةِ المارّ فيها.

   السعة

   من شحنة المكثّفة وفرق الكمون بين لبوسيها، مع $q=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{C}$:

   $$C={\displaystyle \frac{q}{U}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{\mathrm{5<!--\; -->0}}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-8}\mathrm{F}$$

   الذاتيّة

   الوشيعة بطبقةٍ واحدة، ونصف قطر اللفّة $r$، فعدد لفّاتها $N={\displaystyle \frac{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{2\pi r}}$، و${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}$ طول سلكها، ومساحة اللفّة $s=\pi r^2$، فيختصر نصف القطر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N^{2}s}{\mathrm{\ell }}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }2}}{\mathrm{\ell }}}}\\ {\displaystyle L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->6}}^2}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{H}}\end{array}$$

   العلاقة

   التواتر الخاصّ للدارة المهتزّة:

   $$f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$$

   التعويض

   مع $LC=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}{\mathrm{s}}^2$، فـ $\sqrt{LC}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{s}$:

   $$f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}}$$

   الجواب

   $$f_0\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{H}\mathrm{z}$$

2. 2. احسبْ شدَّةَ التيّارِ الأعظميّ المارّ في الدَّارة.

   العلاقة

   الشحنة العظمى هي شحنة المكثّفة في البدء، والشدّة العظمى:

   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{LC}}}$$

   التعويض

   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}}$$

   الجواب

   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{A}$$