المسألة الثانية من امتحان 2017، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. قيمة كلّ من ذاتية الوشيعة، وسعة المكثّفة.(29 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   النبض من التواتر:

   $$\omega =2\pi f$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «أينما وردت تعطى لمرة واحدة».

   التعويضالدرجة: 3

   $$\omega =2\pi \times \mathrm{5<!--\; -->0}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «ينال 9 درجات عند التعويض مباشرةً $\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi$ لمرة واحدة».

   العلاقةالدرجة: 5

   ردّيّة الوشيعة:

   $$X_L=\omega L$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$8=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi L$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$L={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{2<!--\; -->5}\pi }}\mathrm{H}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{H}$.

   في سلّم التصحيح: بجانبه: «الجواب أبسط كسر».

   العلاقةالدرجة: 5

   اتّساعيّة المكثّفة:

   $$X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$4={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi C}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي نحو $\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$.

2. 2. قيمة التوتّر المنتج بين طرفي الوشيعة، واكتب التابع الزمني للتوتّر بين طرفيها.(21 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   العناصر على التسلسل، فيمرّ في الوشيعة تيّار الدارة نفسه، وقانون أوم بين طرفيها:

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=X_L{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   في سلّم التصحيح: بجانبها: «لا يحاسب لإغفال $L$ عند التطبيق الصحيح».

   التعويضالدرجة: 3

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=8\times 5$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

   العلاقةالدرجة: 3

   الشدّة واحدة في كلّ عناصر الدارة التسلسليّة، فنتّخذها مرجعاً للطور، أي طورها الابتدائيّ معدوم، كما في سلّم التصحيح؛ والوشيعة مهملة المقاومة، فالتوتّر بين طرفيها متقدّمٌ على الشدّة بربع دور:

   $${\bar{u}}_L=U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل: ${\bar{u}}_L=U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}\cos (\omega t+{\bar{\phi }}_L)$ $(2)$، ثمّ ${\bar{\phi }}_L=\frac{\pi }{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ $(1)$.

   العلاقةالدرجة: 2

   وسعة التوتّر بين طرفيها من قيمته المنتجة:

   $$U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}=U_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}\sqrt{2}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$U_{{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}_L}=\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{2}\mathrm{V}$$

   الجوابالدرجة: 5

   $${\bar{u}}_L=\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$

   والتوتّر بالفولت، والزمن بالثانية.

   في سلّم التصحيح: بجانبه: «ينال 11 درجة إذا كتب التابع مباشرة بشكل صحيح».

3. 3. الممانعة الكلية للدارة، وعامل استطاعتها.(18 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   ممانعة مقاومةٍ ووشيعةٍ مهملة المقاومة ومكثّفة على التسلسل:

   $$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$Z=\sqrt{(3{)}^2+(8-4{)}^2}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$Z=5\mathrm{\Omega }$$

   العلاقةالدرجة: 5

   عامل الاستطاعة، و$\bar{\phi }$ فرق الطور بين التوتّر الكلّيّ والشدّة:

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{R}{Z}}$$

   الجوابالدرجة: 3

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$.

4. 4. قيمة التوتّر المنتج الكلي بين طرفي المأخذ.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   قانون أوم للدارة كلّها:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=Z{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=5\times 5$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{V}$$

   لاحظ أنّه ليس مجموع التوتّرات المنتجة $\mathrm{1<!--\; -->5}+\mathrm{4<!--\; -->0}+\mathrm{2<!--\; -->0}$: التوتّرات على غير توافقٍ بالطور. والتحقّق بإنشاء فرينل: $\sqrt{{\mathrm{1<!--\; -->5}}^2+(\mathrm{4<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->0}{)}^2}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{V}$.

5. $\text{b<!-- -->a}$. نضيف إلى المكثفة في الدارة السابقة مكثفة مناسبة سعتها $C^{\mathrm{\prime }}$ تجعل الدارة في حالة تجاوب كهربائي (طنين). المطلوب حساب: السعة المكافئة $C_{eq}$ للمكثفتين، ثمّ حدّد طريقة الضم.(12 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   في حالة التجاوب الكهربائيّ تساوي ردّيّة الوشيعة اتّساعيّة المكثّفتين معاً، ولهما سعةٌ مكافئة $C_{eq}$:

   $$X_L={\displaystyle \frac{1}{\omega C_{eq}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   التواتر لم يتغيّر، $\omega =\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi C_{eq}}}=8$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C_{eq}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{8<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي نحو $\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->8}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$.

   العلاقةالدرجة: 1

   نقارنها بسعة المكثّفة الأولى $C=\frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }\mathrm{F}$:

   $$C_{eq}<C$$

   الجوابالدرجة: 1

   ضمّ مكثّفتين على التسلسل يعطي سعةً أصغر من سعة كلٍّ منهما، وضمّهما على التفرّع يعطي سعةً أكبر؛ فالضمّ على التسلسل.

6. $\text{b<!-- -->b}$. سعة المكثفة المضافة $C^{\mathrm{\prime }}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   السعة المكافئة لمكثّفتين على التسلسل:

   $${\displaystyle \frac{1}{C_{eq}}}={\displaystyle \frac{1}{C}}+{\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\mathrm{8<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi =\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi +{\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$$

   أي مكثّفةٌ مماثلةٌ للأولى. وطريقٌ مكافئ: على التسلسل تُجمع الاتّساعيّتان، فاتّساعيّة المكثّفة المضافة $X_{C^{\mathrm{\prime }}}=8-4=4\mathrm{\Omega }$، وهي اتّساعيّة الأولى نفسها.