المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. حسابُ شدّةِ الحقلِ المغناطيسيِّ المتولّدِ عن التيّارين في النقطة $c$ موضّحاً ذلك بالرسم.

   العلاقة

   شدّة الحقل المغناطيسيّ لتيّارٍ في سلكٍ مستقيمٍ طويلٍ على بعد $r$ منه:

   $$B=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{I}{r}}$$

   التعويض

   النقطة $c$ على بعد $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ من كلّ سلك:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle B_1=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{3}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}}}=3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{T}}\\ {\displaystyle B_2=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{T}}\end{array}$$

   الرسم

   التيّاران بجهةٍ واحدة، والنقطة $c$ بين السلكين، فالحقلان فيها على حاملٍ واحدٍ وبجهتين متعاكستين، والمحصّلة بجهة الحقل الأكبر ${\vec{B}}_1$:

   الجواب

   $$B=B_1-B_2=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{T}$$

2. 2. حسابُ الزاويةِ التي تنحرفُ فيها إبرةُ البوصلةِ عن منحاها الأصليّ بفرضِ أنّ قيمةَ المركبةِ الأفقيّة للحقلِ المغناطيسيِّ الأرضيِّ $B_H=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{T}$

   العلاقة

   السلكان في مستوي الزوال، فالحقل $\vec{B}$ في $c$ أفقيٌّ وعموديٌّ على ${\vec{B}}_H$، والإبرة تأخذ منحى المحصّلة:

   $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{B}{B_H}}$$

   التعويض

   $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$$

   الجواب

   $$\theta \approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الزاوية صغيرة، فقيمتها بالراديان تساوي ظلّها تقريباً.

3. 3. حدّدِ النقطةَ الواقعةَ بينَ السلكَينِ التي تنعدمُ فيها شدّةُ محصّلة الحقلَين.

   العلاقة

   بين السلكين الحقلان متعاكسان، فتنعدم المحصّلة حيث يتساويان. نسمّي $x$ بعد هذه النقطة عن السلك الأوّل:

   $$2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{I_1}{x}}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{I_2}{d-x}}$$

   التعويض

   $${\displaystyle \frac{3}{x}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}-x}}\Rightarrow \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}-3x=x$$

   الجواب

   $$x=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{m}$$

   أي على بعد $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ من السلك الأوّل و$\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ من السلك الثاني، أقرب إلى السلك الذي تيّاره أصغر.

4. 4. هل يمكنُ أنْ تنعدمَ شدّةُ محصّلةِ الحقلين في نقطةٍ قطع خارج المنطقة الواقعة بين السلكين؟ وضّح إجابتك.

   العلاقة

   خارج المنطقة بين السلكين تقع النقطة في جهةٍ واحدةٍ من السلكين معاً. والتيّاران بجهةٍ واحدة، فيكون الحقلان فيها بجهةٍ واحدة، ويُجمعان ولا يتعاكسان.

   الجواب

   لا يمكن: محصّلة الحقلين خارج المنطقة بين السلكين

   $$B=B_1+B_2\mathrm{\ne }0$$