الدرس 4: المتحوّلات العشوائيّة الحدّانيّة

التمرين الثالث من امتحان 2018، الدورة الأولى

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2018، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

ليكن $X$ متحول عشوائي يمثل عدد النجاحات في تجربة برنولية. الجدول غير المكتمل المجاور هو القانون الاحتمالي للمتحول $X$ الممثل لثلاث نجاحات، فإذا علمت أن احتمال النجاح يساوي $\frac{2}{3}$ و $P (X = 0) = \frac{1}{27}$ و $P (X = 1) = \frac{6}{27}$ .

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = k)$	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{\dots}{\dots}$	$\frac{\dots}{\dots}$

المطلوب:

1.جد $P (X = 2)$ ، $P (X = 3)$
2.ما التوقع الرياضي للمتحول العشوائي $X$ ؟
3.ما تباين المتحول العشوائي $X$ ؟

الأسّان: في $(\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k}$ أسّ $p$ هو عدد النجاحات $k$ . ومن قلب الأسّين وجد $3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{27}$ لـ $X = 2$ ، وهو احتمال $X = 1$ في الجدول نفسه.

المعامل: في $P (X = 2)$ ثلاث كلماتٍ فيها نجاحان، فالمعامل $(\binom{3}{2}) = 3$ . ومن نسيه وجد $\frac{4}{27}$ ، فصار مجموع الجدول $\frac{19}{27}$ لا $1$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. جد $P (X = 2)$ ، $P (X = 3)$ (30 درجةً)
نجاحانالدرجة: 10+5+5
المتحوّل $X$ يعدّ النجاحات في تجربةٍ برنوليّةٍ من ثلاثة اختبارات، فقيمه من $0$ إلى $3$ كما في الجدول، واحتمال النجاح $p = \frac{2}{3}$ . فـ $X$ يتبع قانوناً حدّانياً وسيطاه $n = 3$ و $p = \frac{2}{3}$ ، و $q = 1 - p = \frac{1}{3}$ . نكتب القانون ثمّ نعوّض $k = 2$ :
$\begin{array}{c} P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} \\ P (X = 2) = (\binom{3}{2}) {(\frac{2}{3})}^{2} \frac{1}{3} \\ = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} \end{array}$
والقانون نفسه يعطي قيمتي الجدول: $q^{3} = \frac{1}{27}$ و $3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{27}$ .
ثلاثة نجاحاتالدرجة: 5+5
ونعوّض $k = 3$ ، و $(\binom{3}{3}) = 1$ و $q^{0} = 1$ :
$\begin{array}{c} P (X = 3) = (\binom{3}{3}) {(\frac{2}{3})}^{3} \\ = \frac{8}{27} \end{array}$
وفي ملاحظة السلّم تحت جدوله كُتب $P (x = 2)$ مرّتين، والثانية مع $\frac{8}{27}$ ، وهو خطأٌ طباعيّ: المقصود $P (X = 3)$ .
في سلّم التصحيح: «في حال كتب الطالب: $P (x = 2) = \frac{12}{27}$ و $P (x = 2) = \frac{8}{27}$ ينال الدرجات المخصصة ضمناً»، أي من كتب القيمتين مباشرةً نال معهما درجات القانون والتعويض.
الجواب
الجدول بعد إكماله:
$k$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P (X = k)$ $\frac{1}{27}$ $\frac{6}{27}$ $\frac{12}{27}$ $\frac{8}{27}$
تحقّق: $\frac{1 + 6 + 12 + 8}{27} = 1$ . ومن هذا المجموع طريقٌ ثانٍ إلى الاحتمال الأخير: $1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27}$ .
2. ما التوقع الرياضي للمتحول العشوائي $X$ ؟(15 درجةً)
الجوابالدرجة: 5+5+5
التوقّع الرياضي لمتحوّلٍ يتبع القانون الحدّانيّ $B (n, p)$ هو $n p$ :
$\begin{array}{c} E (X) = n p \\ = 3 \times \frac{2}{3} \\ = 2 \end{array}$
أي نجاحان في المتوسّط من ثلاثة اختبارات. ومن الجدول بالتعريف: $\frac{0 + 6 + 24 + 24}{27} = 2$ ، والطريقان متّفقان.
في سلّم التصحيح: «حساب التوقع أو التباين اعتماداً على الجدول ينال الدرجات المخصصة»، أي يجوز حساب التوقّع والتباين من الجدول المكتمل بالتعريف بدل الصيغتين، والدرجات نفسها.
3. ما تباين المتحول العشوائي $X$ ؟(15 درجةً)
الجوابالدرجة: 5+5+5
وتباين متحوّلٍ يتبع $B (n, p)$ هو $n p (1 - p)$ ، أي $n p q$ :
$\begin{array}{c} V (X) = n p (1 - p) = n p q \\ = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \\ = \frac{2}{3} \end{array}$
ومن الجدول: مجموع الجداءات $k^{2} P (X = k)$ ناقصاً مربّع التوقّع، $\frac{0 + 6 + 48 + 72}{27} - 2^{2} = \frac{2}{3}$ ، وهذا الطريق ينال الدرجات نفسها، كما في ملاحظة السلّم المنقولة في الطلب الثاني. والتباين هو التوقّع $2$ مضروباً في $q = \frac{1}{3}$ ، فهو أصغر منه.