الدرس 4: متتاليات متجاورة

التمرين الثاني من امتحان 2018، الدورة الأولى

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2018، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

ليكن لدينا المتتاليتان $(u_{n})_{n \geq 1}$ ، $(v_{n})_{n \geq 1}$ المعرفتان وفق: $u_{n} = 5 - \frac{1}{n}$ ، $v_{n} = 5 + \frac{1}{n^{2}}$ .

المطلوب:

1.اثبت أن المتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدة.
2.اثبت أن المتتالية $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصة.
3.هل المتتاليتان $(u_{n})_{n \geq 1}$ ، $(v_{n})_{n \geq 1}$ متجاورتان؟ علل إجابتك.

المشتق: مشتقّ $- \frac{1}{x}$ هو $\frac{1}{x^{2}}$ لا $- \frac{1}{x^{2}}$ . ومن أخطأ الإشارة في طريقة التابع وجد تابعاً متناقصاً، مع أنّ $u_{1} = 4$ و $u_{2} = \frac{9}{2}$ ، فالحدّ الثاني أكبر من الأوّل.

التجاور: يقبل السلّم في الطلب الثالث تساوي النهايتين، $\lim u_{n} = \lim v_{n} = 5$ ، لأنّ الاطّرادين ثابتان من الطلبين الأوّل والثاني، وتساوي النهايتين يعطي نهاية الفرق $0$ . ولولا الاطّراد لما كفى تساوي النهايتين: المتتالية $\frac{(- 1)^{n}}{n}$ نهايتها $0$ كنهاية $\frac{1}{n}$ ، وهي ليست مطّردة، فلا تجاور بينهما.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. اثبت أن المتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدة.(20 درجةً)
الحدّ التاليالدرجة: 5
نكتب الحدّ التالي بوضع $n + 1$ مكان $n$ :
$u_{n + 1} = 5 - \frac{1}{n + 1}$
الفرقالدرجة: 10
نطرح فيختصر الحدّ $5$ ، ثمّ نوحّد المقامين، والمقام المشترك $n (n + 1)$ موجبٌ تماماً لأنّ $n \geq 1$ :
$\begin{array}{c} u_{n + 1} - u_{n} \\ = 5 - \frac{1}{n + 1} - 5 + \frac{1}{n} \\ = \frac{(n + 1) - n}{n (n + 1)} \\ = \frac{1}{n (n + 1)} > 0 \end{array}$
الجوابالدرجة: 5
الفرق موجبٌ تماماً أيّاً كان $n \geq 1$ :
$u_{n + 1} > u_{n}$
فالمتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدةٌ تماماً. وفي السلّم ثلاث طرائق أخرى. الثانية بالتابع $f (x) = 5 - \frac{1}{x}$ على $[1, + \infty [$ : مشتقّه $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} > 0$ ، فهو متزايد، و $u_{n} = f (n)$ ، بالدرجات $5 + 10 + 5$ . والثالثة بالنسبة $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ مع «التعليل الدقيق للخطوات»: الحدود موجبةٌ تماماً لأنّ $\frac{1}{n} \leq 1$ ، والنسبة تزيد على $1$ بمقدار $\frac{1}{(n + 1) (5 n - 1)}$ ، بالدرجات $5 + 10 + 5$ . والرابعة بالتدريج: «ذكر العلاقة + خطوات التدريج + النتيجة»، بالدرجات $3 + 15 + 2$ .
2. اثبت أن المتتالية $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصة.(20 درجةً)
الحدّ التاليالدرجة: 5
بالطريقة نفسها نكتب الحدّ التالي:
$v_{n + 1} = 5 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}$
في سلّم التصحيح: «بنفس الأسلوب»، أي يُثبت التناقص بإحدى طرائق إثبات التزايد في الطلب الأوّل، ومنها الفرق المستعمل هنا.
الفرقالدرجة: 10
نطرح فيختصر الحدّ $5$ . والمقام المشترك $n^{2} (n + 1)^{2}$ موجبٌ تماماً، و $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$ :
$\begin{array}{c} v_{n + 1} - v_{n} \\ = \frac{1}{(n + 1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \\ = \frac{n^{2} - (n + 1)^{2}}{n^{2} (n + 1)^{2}} \\ = \frac{- (2 n + 1)}{n^{2} (n + 1)^{2}} < 0 \end{array}$
البسط سالبٌ تماماً لأنّ $2 n + 1 > 0$ .
الجوابالدرجة: 5
الفرق سالبٌ تماماً أيّاً كان $n \geq 1$ :
$v_{n + 1} < v_{n}$
فالمتتالية $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصةٌ تماماً.
3. هل المتتاليتان $(u_{n})_{n \geq 1}$ ، $(v_{n})_{n \geq 1}$ متجاورتان؟ علل إجابتك.(20 درجةً)
الفرقالدرجة: 5
من تعريف المتتاليتين يختصر الحدّ $5$ :
$v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n}$
النهايةالدرجة: 10
المتتاليتان $\frac{1}{n}$ و $\frac{1}{n^{2}}$ تسعيان إلى $0$ ، فمجموعهما يسعى إلى $0$ :
$\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = 0$
في سلّم التصحيح: «أذا كتب الطالب: $\lim v_{n} = 5$ ، $\lim u_{n} = 5$ ، $\lim v_{n} = \lim u_{n}$ ينال درجات الخطوة الثالثة»، أي من حسب النهايتين ووجدهما متساويتين نال درجات هذا الطلب، لأنّ نهاية الفرق عندئذٍ $5 - 5 = 0$ . وتحت رموز النهاية في هذه الملاحظة كُتب $x \to + \infty$ مكان $n \to + \infty$ .
الجوابالدرجة: 5
نعم. اجتمعت الشروط الثلاثة في تعريف المتتاليتين المتجاورتين: $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدة من الطلب الأوّل، و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصة من الطلب الثاني، والفرق $v_{n} - u_{n}$ يسعى إلى الصفر. فالمتتاليتان متجاورتان.
ونهايتهما المشتركة $5$ .
في سلّم التصحيح: «إذا اكتفى الطالب بالإجابة بكلمة نعم دون تعليل الإجابة يخسر 15 درجة»، أي الجواب «نعم» وحده لا يأخذ من درجات الطلب العشرين إلّا خمساً.