الاحتمالات المشروطةالتحليل التوافقي والاحتمالات

لا يبدأ الكتاب بتعريف، بل بمدرسة. في مدرسةٍ ما $\mathrm{4<!--\; -->5}\mathrm{\%}$ من المتعلّمين إناث، نرمز لهنّ بـ$G$، و$\mathrm{5<!--\; -->5}\mathrm{\%}$ ذكور، ونرمز لهم بـ$B$. ومن الإناث $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{\%}$ يقمن في المدينة السكنيّة $I$ و$\mathrm{7<!--\; -->0}\mathrm{\%}$ عند أسرهنّ $E$، ومن الذكور $\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{\%}$ في المدينة السكنيّة و$\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\%}$ عند أسرهم. نسحب بطاقةً واحدةً عشوائيّاً. ولاحظ الآن أين تقف الأعداد: $\mathrm{4<!--\; -->5}\mathrm{\%}$ تخصّ المدرسة كلّها، أمّا $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{\%}$ فلا تخصّ المدرسة بل الإناث وحدهنّ. عددان في الرسم نفسه، ومرجع كلٍّ منهما غير مرجع الآخر.

تذكّر: قانون العُقَد: مجموع الاحتمالات المكتوبة على الفروع الصادرة من عقدةٍ واحدةٍ يساوي $1$. من عقدةٍ واحدة، لا من الشجرة كلّها. في هذا الرسم ستّة أعدادٍ ومجموعها $3$ لا $1$، لأنّها ثلاث عُقَد. وهذا أوّل موضعٍ يُخطئ فيه القارئ حين يجمع ما ليس صادراً من عقدةٍ واحدة.

انتبه: وثلاثة أعدادٍ تُخلط كثيراً، فافصلها بمثالٍ واحدٍ وثبّته. في شجرة المدرسة: $\mathbb{P}(G)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->5}$ يسأل عن الإناث في المدرسة كلّها، و$\mathbb{P}(E\mid G)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}$ يسأل عن السكن داخل الإناث وحدهنّ، و$\mathbb{P}(G\cap E)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->5}$ يسأل عن الاثنين معاً في المدرسة كلّها. ثلاثة أسئلةٍ وثلاثة أعداد. والفرق بينها ليس في الرموز بل في السؤال: ما مرجع المقارنة؟

وقد يقع أن يكون الخبر بلا أثر. تسأل عن $A$، ثمّ يقال لك إنّ $B$ قد وقع، فلا يتغيّر الجواب. هذه هي الحالة التي يسمّيها الكتاب الاستقلال الاحتمالي، ويعرّفها في أبسط صورةٍ ممكنة: جداء.

تذكّر: والصلة بالتعريف الأوّل تُريك لماذا هذا هو التعريف الصحيح: إن كان $\mathbb{P}(B)\mathrm{\ne }0$ فاقسم طرفي المساواة على $\mathbb{P}(B)$، فيصير $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$. أي إنّ معرفة وقوع $B$ لم تغيّر شيئاً في احتمال $A$. هذه هي الجملة التي تحفظها، والجداء صياغتها التي لا تحتاج إلى قسمة ولا إلى شرطٍ على المقام.

انتبه: 🚨 ولا تخلط «منفصلان» بـ«مستقلّان»، فهما لفظان متقاربان ومعنيان متعاكسان. منفصلان يعني $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$، أي $\mathbb{P}(A\cap B)=0$، أي إنّ وقوع أحدهما يمنع الآخر تماماً، وهذا أشدّ تأثيرٍ ممكن. ومستقلّان يعني $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$، أي لا تأثير أصلاً. فلا يجتمع الوصفان لحدثين احتمال كلٍّ منهما موجبٌ تماماً: لو كانا منفصلين ومستقلّين لوجب $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=0$، وهذا يفرض أن يكون أحدهما مستحيلاً.

تذكّر: ويجمع الكتاب في الفقرة 4.1 خمس قواعدَ للشجرة، بلا كتلةٍ مرقّمةٍ بل نقاطاً على صفحتين. الأولى: كلّ عقدةٍ توافق حالةً من حالات التجربة. والثانية هي قانون العُقَد. والثالثة: المسار التامّ من الجذر إلى طرفٍ نهائيّ يمثّل تقاطع كلّ الأحداث التي يمرّ بها، ونطابق عادةً بين المسار والحدث. والرابعة: احتمال المسار جداء احتمالات فروعه. والخامسة: احتمال الحدث $B$ مجموع احتمالات المسارات التي تقود إليه. والقاعدتان الأخيرتان هما ما فعلتَه للتوّ في الخطوتين ③ و④.

انتبه: 🚨 وهنا نقصٌ في الكتاب لا في قراءتك: نصّ مبرهنة 2 لا يذكر الشرط $\mathbb{P}(A_k)\mathrm{\ne }0$، مع أنّ برهانه في الصفحة نفسها يستعمل $\mathbb{P}(A_k\cap B)=\mathbb{P}(A_k)\mathbb{P}(B\mid A_k)$، والطرف الأيمن لا وجود له إن كان $\mathbb{P}(A_k)=0$. فأضِفه أنت عند التطبيق، ولا تحذف الحالة من التجزئة: التجزئة يجب أن تبقى كاملةً وإلا سقط شرط المبرهنة. وعمليّاً لا يضرّك: إن كان $\mathbb{P}(A_k)=0$ فالاحتمال المشروط غير معرّف، لكنّ $\mathbb{P}(A_k\cap B)=0$ مباشرةً، فتكتب حدّ هذه الحالة صفراً ولا تكتبه جداءً.

حتّى الآن سار كلّ شيءٍ مع الزمن: تختار ثمّ تسحب، وتمشي على الشجرة من الجذر يميناً. والسؤال الذي يأتي الآن يمشي عكس ذلك: النتيجة معلومةٌ والسبب مجهول. «سحبنا كرةً سوداء، فما احتمال أنّها من الصندوق الأوّل؟» ولهذا السؤال شكلٌ لا يتغيّر: يعطيك المتأخّر ويسألك عن المتقدّم. والكتاب يجيب عنه في سطرين ويكتب «تعريفاً لدينا»، بلا اسمٍ ولا رسم. وهو أصعب موضعٍ في الدرس، فخُذْه ببطء.

وحالةٌ أخيرةٌ تختصر العمل كلّه: أن تكون مراحل التجربة مستقلّةً بعضها عن بعض. حينئذٍ يبقى الشكل شجرةً، لكنّ الأعداد على المرحلة الثانية لم تعُد تتغيّر بحسب ما سبقها، فهي مشروطةٌ في الصورة وغير مشروطةٍ في القيمة. والكتاب يشدّد على أمرٍ يُنسى: استقلال مراحل التجربة لا تقرؤه من شكل الشجرة، بل هو افتراضٌ من افتراضات النموذج، ويجب أن يُنصّ عليه صراحةً عند طرح السؤال. وهذا غير استقلال حدثين معلومٍ احتمالاهما، فذاك تتحقّق منه بالحساب كما رأيت.

تذكّر: وأربع حالاتٍ مرجعيّةٍ يعدّها الكتاب مستقلّةً عادةً: تكرار إلقاء حجر نردٍ أو قطعة نقودٍ عدداً من المرّات، وإلقاء عدّة قطعٍ أو أحجارٍ معاً، والسحب من صناديقَ مختلفة، والسحب المتكرّر من الصندوق نفسه مع الإعادة. وانتبه إلى الأخيرة: «مع الإعادة» هي التي تجعل الصندوق مستقلّاً عن نفسه، و«دون إعادة» تنقضه. وهذا بعينه الفرق بين المثال الآتي ومثال الكرات السابق.