الاستقلال الاحتمالي لمتحوّلين عشوائيّينالتحليل التوافقي والاحتمالات

مثالٌ واحدٌ يحمل الدرس كلّه، وهو مثال الكتاب صفحة 166. صندوقٌ فيه ثلاث كرات: واحدةٌ حمراء تحمل الرقم $1$، واثنتان زرقاوان تحملان الرقمين $2$ و$3$. نسحب كرتين على التتالي مع الإعادة، فالصندوق يعود إلى حاله بعد السحبة الأولى، ولذلك يكون $\mathrm{\Omega }$ مؤلّفاً من تسع نتائج مرتّبة، لا ستّ. والمقام تسعةٌ في كلّ ما يأتي، وهو أوّل ما تتحقّق منه.

ونعرّف على المجموعة $\mathrm{\Omega }$ نفسها متحوّلين لا متحوّلاً واحداً. الأوّل $X$ يقرن بكلّ نتيجةٍ عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فقيمه $I=\{0,1,2\}$. والثاني $Y$ يقرن بكلّ نتيجةٍ مجموع رقمي الكرتين، فقيمه $J=\{2,3,4,5,6\}$. ولاحظ أنّ الأوّل يعدّ والثاني يجمع، ومن هنا اختلاف مجموعتي القيم. وخذ نتيجةً واحدة لترى كيف يعمل الاثنان معاً: عند $(2,1)$، أي الكرة $2$ أوّلاً ثمّ الكرة $1$، يكون $X=1$ لأنّ زرقاء واحدةً خرجت، و$Y=2+1=3$. سحبةٌ واحدة، قيمتان في آنٍ واحد.

والآن سؤال الكتاب تحت عنوان تكريساً للفهم: كيف نحصل على قانون $X$ وحده وقانون $Y$ وحده انطلاقاً من قانون الزوج؟ والجواب في كلمة، اجمع. لكنّ الكلمة وحدها رديئة، لأنّها تُحفظ ولا تُفهم، والكتاب يعطي البرهان في ثلاثة أسطرٍ سريعة. فلنمشِ فيها ببطء.

تذكّر: وانتبه إلى الشرطة مرّةً أخرى، فهي هنا تفرّق بين متحوّلين لا بين صيغتين: $p_i$ بلا شرطة يخصّ $X$ دائماً، و$p_j^{\mathrm{\prime }}$ بالشرطة يخصّ $Y$ دائماً. ومعها تحقّقان مجّانيّان: مجموع $p_i$ واحد، ومجموع $p_j^{\mathrm{\prime }}$ واحد، ومجموع خانات الجدول كلّها واحد أيضاً. ثلاث قراءاتٍ لعددٍ واحدٍ في زاوية الجدول.

انتبه: 🚨 والآن الجملة التي يقوم عليها آخر الدرس، ويكتبها الكتاب في سطرٍ واحدٍ سريع: «ولكن عموماً، لا يمكننا استنتاج قانون الزوج $(X,Y)$ انطلاقاً من قانونَي $X$ و$Y$. هذا ممكنٌ فقط في حالة كون $X$ و$Y$ مستقلَّين». الطريق من الجدول إلى الهامشين مفتوحٌ دائماً، والطريق من الهامشين إلى الجدول مسدودٌ إلا عند الاستقلال. والسبب بسيط: الهامشان يخبرانك كم مرّةً تقع كلّ قيمةٍ على حدة، ولا تخبرانك أيّ قيمتين تقعان معاً.

والاستقلال هنا ليس مفهوماً جديداً بل القديم مطبَّقاً على كلّ زوج. تعرف من الدرس الأوّل أنّ حدثين مستقلّان إذا كان احتمال تقاطعهما جداء احتماليهما. وهنا الأحداث كثيرة: $(X=x_i)$ و$(Y=y_j)$ لكلّ زوج دليلين. فالتعريف يطلب أن تتحقّق المساواة عند الجميع.

انتبه: 🚨 والشرط نفسه متناظرٌ في $X$ و$Y$، لكنّ الإثبات والنفي غير متناظرين، وهذا موضع الغلط الأشهر في الدرس. للإثبات يجب أن تتحقّق المساواة في كلّ خانة، ولا تكفي واحدةٌ ولا اثنتان. وإذا فحصنا الشرط مباشرةً خانةً خانةً في جدولنا ذي الخمس عشرة خانة، فتلك خمس عشرة مقارنة؛ أمّا من يستعمل مجاميع الأسطر والأعمدة فقد تكفيه مقارناتٌ أقلّ. وللنفي تكفي خانةٌ واحدةٌ تخالف، وتتوقّف عندها. فالبحث عن الاستقلال عملٌ طويل، والبحث عن نفيه قد ينتهي في السطر الأوّل. وابدأ دائماً بخانةٍ صفريّةٍ إن وُجدت، فهي الأسرع في الكشف.