المتحوّلات العشوائيّة الحدّانيّةالتحليل التوافقي والاحتمالات

ولاحظ كيف يعرّف الكتاب الاختبار البرنوليّ، فالتعريف غير متوقّع: لا يشترط أن تكون للتجربة نتيجتان اثنتان، بل أن نهتمّ نحن بوقوع حدثٍ واحدٍ فقط. والكتاب يضع كلمة «فقط» بالأزرق وتحتها خط. مثاله: نلقي حجر نردٍ ونهتمّ فقط بوقوع الحدث $S$ «ظهور العدد 6». للنرد ستّ نتائج، لكنّنا نختار فضاء العيّنة $\mathrm{\Omega }=\{S,S^{\mathrm{\prime }}\}$، وكلمة «نختار» هي المفتاح: الفضاء هنا مصنوعٌ بقرارنا لا موجودٌ في التجربة.

تذكّر: ورمزان يرافقان كلّ ما يأتي: $p=\mathbb{P}(S)$ احتمال الحدث المستهدف، و$q=\mathbb{P}(S^{\mathrm{\prime }})$ احتمال متمّمه، ومن ثمّ $q=1-p$. فالوسيطان اثنان لا ثلاثة: $n$ و$p$. و$q$ ليس معطى ثالثاً بل اختصارٌ لـ$1-p$، ولذلك لا يظهر في اسم القانون $\mathcal{B}(n,p)$.

ثمّ الخطوة الثانية: نكرّر الاختبار نفسه $n$ مرّة، بالشروط نفسها، وبحيث لا تتأثّر نتيجة اختبارٍ بما سبقه. هذه المجموعة تُسمّى تجربةً برنوليّة. والشرطان في الجملة ليسا زينة: «بالشروط نفسها» يعني أنّ $p$ لا يتغيّر من اختبارٍ إلى آخر، و«لا تتأثّر» يعني الاستقلال الاحتماليّ من الدرس الأوّل، حيث عرّفه الكتاب للأحداث وللتجارب البسيطة، لا الاستقلال بين متحوّلين عشوائيّين من الدرس الثالث. بل إنّ عبارة «لا تتأثّر» نفسها مأخوذةٌ من صفحة 160 في الدرس الأوّل. وعليهما يقوم كلّ ما بعدهما.

والآن الخطوة التي يقطعها الكتاب في أربعة أسطر، وهي كلّ ما في الدرس من فكر. لنسمّ $X$ المتحوّل العشوائيّ الذي يقرن بكلّ نتيجةٍ عدد حروف $S$ فيها. فما $\mathbb{P}(X=2)$؟

والحالة العامّة هي الخطوات نفسها بالحروف. كلمةٌ من $n$ حرفاً على $\{S,S^{\mathrm{\prime }}\}$، فيها $k$ حرفاً $S$ و$n-k$ حرفاً $S^{\mathrm{\prime }}$، احتمالها $p^k{q}^{n-k}$. وعدد هذه الكلمات هو عدد طرق اختيار $k$ موضعاً من $n$، أي $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$. والحدث $(X=k)$ هو اجتماعها كلّها، وهي متنافية، فالاحتمال جداء العددين.

انتبه: 🚨 وخطآن يلازمان هذه الصيغة. الأوّل: إسقاط المعامل وكتابة $p^k{q}^{n-k}$ وحدها. تلك احتمال كلمةٍ واحدة، والحدث يضمّ $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ كلمة. والثاني: قلب الأُسّين، أي $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^{n-k}{q}^k$. والقاعدة التي تمنعه: $k$ عدد النجاحات، والنجاح احتماله $p$، فأُسّ $p$ هو دائماً العدد الأسفل في المعامل. والتحقّق في سطر: ضع $k=n$، فيجب أن يخرج $p^n$ وحده، أي أن تنجح كلّ المرّات.

وبرهان التوقّع في الكتاب مكتوبٌ كاملاً ومعنونٌ «الإثبات (يترك لقراءة ثانية)»، أي إنّه اختياريّ. وفكرته في سطر: في المجموع $\sum k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$ تُستعمل المطابقة $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$، وهي في الكتاب بلا اسم، ثمّ يُخرَج $np$ عاملاً مشتركاً، فيبقى منشور ذي الحدّين للأُسّ $n-1$، وهو $(p+q{)}^{n-1}=1$.

انتبه: 🚨 وتنبيهٌ على كلمةٍ واحدةٍ في الكتاب: يختم برهان التوقّع بقوله «ويمكن بالمثل إثبات الجزء المتعلّق بالتباين». والحقيقة أنّ برهان التباين ليس مذكوراً في الدرس أصلاً، ولا يمشي على المنوال نفسه: برهان التوقّع يقوم على تلك المطابقة وعلى منشور ذي الحدّين، والتباين يحتاج إلى خطوةٍ أخرى. فلا تضيّع وقتك في البحث عنه في الصفحة، ولا تفترض أنّك ستجده بتكرار الخطوات نفسها. الصيغة $\mathbb{V}(X)=np(1-p)$ تُحفظ وتُستعمل، وهذا ما يطلبه الامتحان.

تذكّر: ورقابةٌ مجّانيّة على كلّ حسابٍ بهذين: التباين لا يتجاوز التوقّع أبداً، لأنّ $\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X)\times (1-p)$ و$1-p$ لا يتجاوز الواحد. وهو أصغر منه فعليّاً كلّما كان $p$ موجباً تماماً، ويتساويان عند $p=0$ وحدها حيث يكونان صفرين. فإن خرج عندك تباينٌ أكبر من التوقّع فقد أخطأت في أحدهما، ولا حاجة إلى إعادة الحساب كلّه لتعرف ذلك.

تذكّر: وعلامة القانون الحدّاني في نصّ المسألة واحدة، يكتبها الكتاب صراحةً: كلّما واجهت حساب احتمال تحقّق حدثٍ $S$ عدداً $k$ من المرّات عند تكرار اختبارٍ عشوائيّ $n$ مرّة على نحوٍ مستقلٍّ احتماليّاً. وأمثلته المرجعيّة ثلاثة: إلقاء نردٍ أو قطعة نقودٍ عدّة مرّات، والسحب المتتالي مع الإعادة، وإلقاء عدّة قطعٍ متماثلةٍ في آنٍ معاً. وانتبه إلى الثانية: «مع الإعادة» هي الشرط: دونها لا تبقى السحبات مستقلّة، لأنّ احتمال النجاح في السحبة التالية، مشروطاً بما ظهر قبلها، يتغيّر، فتسقط مبرهنة 3.

انتبه: والثالثة تستحقّ وقفة: أن يكون إلقاء خمس قطعٍ معاً مكافئاً لإلقاء قطعةٍ واحدةٍ خمس مرّات ليس مبرهنةً بل افتراضاً، والكتاب يكتبه بهذه الصفة: «إذ نقبل أنّه». فاعرف أنّك تقبل نموذجاً لا تستنتج نتيجة. والاختبار البرنوليّ هنا هو إلقاء قطعةٍ واحدة، و$n$ عدد القطع.