المتحوّلات العشوائيّةالتحليل التوافقي والاحتمالات

يبدأ الكتاب بالفكرة قبل الاسم: «من الشائع ربط كلّ نتيجة في تجربة عشوائيّة بعدد حقيقي». ثمّ يأتي بمثالٍ قبل التعريف. نلقي ثلاث قطع نقودٍ متوازنةٍ مرقّمة، ونسجّل الوجه الظاهر لكلّ قطعة، فيكون $\mathrm{\Omega }$ مجموعة الكلمات الثماني المؤلّفة من $H$ و$T$. ولنتخيّل لعبةً نربح فيها ليرةً كلّما ظهر $T$ ونخسر ليرةً كلّما ظهر $H$. فالتابع الذي يقرن بكلّ نتيجةٍ ربحَها، موجباً كان أو سالباً، هو متحوّلٌ عشوائيّ نسمّيه $X$.

انتبه: 🚨 والاسم مضلّل، والكتاب يعرف ذلك فيضع بجانبه مصباحاً ويكتب: «المتحوّل العشوائيّ ليس متحوّلاً بل هو تابع!». فلا تعامل $X$ معاملة المجهول في معادلة: لا تنقله إلى الطرف الآخر، ولا تحلّ من أجله، ولا تعوّض فيه عدداً على أنّه قيمةٌ لمجهول. إنّه آلةٌ تأخذ ناتجاً من $\mathrm{\Omega }$ وتردّ عدداً، لا أكثر. وقد يكون الناتج نفسه عدداً، كما في حجر النرد. ويصطلح الكتاب على الرموز $X$ و$Y$ و$Z$ لهذه التوابع.

قبل أن نكتب شيئاً، اتّفاقٌ في الكتابة يجب أن يسبق استعماله. حين نكتب $(X=1)$ فنحن لا نكتب معادلة. الكتاب يقولها صراحةً: «الصيغة $(X=x_i)$ لا تعبّر عن مساواة، ولكنّها رمزٌ يستعمل في الاحتمالات للدلالة على الحدث». أي إنّ $(X=1)$ اسمٌ لمجموعةٍ جزئيّةٍ من $\mathrm{\Omega }$، هي مجموعة النتائج التي صورتها وفق $X$ تساوي $1$. ولا يجوز فيها نقلُ حدٍّ ولا قسمةُ طرفين.

تذكّر: ومن هنا طريقٌ واحدٌ لحساب $\mathbb{P}(X=x_i)$ لا ثاني له: ابحث أوّلاً عن المجموعة الجزئيّة $A$ من $\mathrm{\Omega }$ التي صور عناصرها هي $x_i$، فالحدث $A$ هو $(X=x_i)$ نفسه، ثمّ احسب $\mathbb{P}(A)$. لا تخمّن العدد من شكل $x_i$، بل اكتب المجموعة. والكتاب يؤخّر هذا الشرح إلى ما بعد استعماله بصفحتين، ونحن نقدّمه لأنّه المفتاح.

انتبه: وتنبيهان على الرموز. الأوّل: الشرطة في $p_i^{\mathrm{\prime }}$ اسمٌ لا اشتقاق. لا شيء يُشتقّ هنا، والشرطة تفرّق هذا الرمز عن رموزٍ أخرى لا غير، والكتاب يطبعها في موضعٍ منفصلةً عن الحرف وهذا من الطباعة لا من المعنى. والثاني: في الجدول عمودٌ لكلّ قيمةٍ مختلفة، لا لكلّ نتيجة. ثماني نتائجَ أعطت أربعة أعمدةٍ فقط، لأنّ النتائج التي تشترك في القيمة تجتمع في عمودٍ واحدٍ وتُجمع احتمالاتها.

انتبه: 🚨 وهذه هي المغالطة التي يحذّر منها الكتاب في سؤاله الثاني: «إنّ التوقّع الرياضي كائنٌ رياضيّ وليس مقدار الربح المتوقّع في لعبة ما». تخيّل لاعبين متكافئين يلعبان مرّةً واحدة: أحدهما يربح والآخر يخسر، ولا أحد منهما يقبض التوقّع. ما يصحّ قوله هو أنّ أمل الربح يقترب من التوقّع إذا تكرّرت اللعبة مرّاتٍ كثيرة، ولا شيء أكثر من ذلك.