التمرين الرابع من امتحان 2018، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب $J$.(25 درجةً)

   التابع الأصليّالدرجة: 15

   التابع $x\mapsto \frac{e^x}{e^x+2}$ مستمرٌّ على $\mathbb{R}$، وهو من النمط $\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}$ مع $u(x)=e^x+2$، لأنّ $u^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x$. و$u(x)>0$ أيّاً كان $x$، فتابعه الأصليّ $\ln u$:

   $$F(x)=\ln (e^x+2)$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   التكامل المحدّد هو $F(\ln 2)-F(0)$، و$e^{\ln 2}=2$ و$e^0=1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle J={[\ln (e^x+2)]}_0^{\ln 2}}\\ {\displaystyle =\ln 4-\ln 3=\ln \frac{4}{3}}\end{array}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->9}$.

   في سلّم التصحيح: «لكل حد $5\times 2$»، أي خمسُ درجاتٍ لكلٍّ من حدَّي التكامل: $F(\ln 2)=\ln 4$ و$F(0)=\ln 3$.

2. 2. احسب $I+J$ ثُم استنتج $I$.(35 درجةً)

   المجموعالدرجة: 5+5

   التكاملان على المجال نفسه $[0,\ln 2]$، ومجموعهما تكامل مجموع التابعين. ومجموع البسطين $2+e^x$ هو المقام نفسه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I+J={\int }_0^{\ln 2}\frac{2+e^x}{e^x+2}dx}\\ {\displaystyle ={\int }_0^{\ln 2}1dx}\end{array}$$

   الناتجالدرجة: 10+5

   التابع الأصليّ للتابع الثابت $1$ هو $x$:

   $$I+J={\left[x\right]}_0^{\ln 2}=\ln 2$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   ومن الطلب الأوّل $J=\ln \frac{4}{3}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I=\ln 2-J=\ln 2-\ln \frac{4}{3}}\\ {\displaystyle =\ln (2\times \frac{3}{4})=\ln \frac{3}{2}}\end{array}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->1}$، وهو موجبٌ كما يجب، لأنّ $\frac{2}{e^x+2}>0$ و$0<\ln 2$.