المسألة 40 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب طول الموجة الأصغريّ للأشعّة السينيّة الصادرة.

   العلاقة

   طول الموجة يتناسب عكساً مع التواتر، فأقصر طول موجةٍ يقابل التواتر الأعظميّ:

   $${\lambda }_{\text{m<!-- -->i<!-- -->n}}={\displaystyle \frac{c}{f_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}}$$

   التعويض

   $${\lambda }_{\text{m<!-- -->i<!-- -->n}}={\displaystyle \frac{3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8}{3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->8}}}}$$

   الجواب

   $${\lambda }_{\text{m<!-- -->i<!-- -->n}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}\mathrm{m}$$

2. 2. احسب فرق الكمون بين المصعد والمهبط.

   العلاقة

   طاقة الفوتون الأعظميّة تساوي الطاقة الحركيّة التي يكتسبها الإلكترون من الحقل بين المهبط والمصعد، وسرعته الابتدائيّة مهملة:

   $$h{f}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=e{U}_{AC}\Rightarrow U_{AC}={\displaystyle \frac{h{f}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{e}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{AC}={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->4}}\times 3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->8}}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}}}}\\ {\displaystyle U_{AC}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->8}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$U_{AC}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{V}$$

   أي نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{V}$.

3. 3. احسب سرعة الإلكترون لحظة اصطدامه بمقابل المهبط (الهدف).

   العلاقة

   الطاقة الحركيّة للإلكترون عند الهدف $E_k=e{U}_{AC}=h{f}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، ومنها السرعة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2=h{f}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}\\ {\displaystyle v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2h{f}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{m_e}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->8}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}}}}}\\ {\displaystyle v=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$v\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->2}$ من سرعة الضوء. حسبناها بالعلاقة الكلاسيكيّة كما في الكتاب، والسرعة الحقيقيّة أقلّ منها قليلاً.