المسألة 39 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب شدَّة الحقل الكهربائيّ المنتظم بين لبوسي المكثِّفة.

   العلاقة

   الحقل بين لبوسي مكثّفةٍ مستوية منتظم، وشدّته فرق الكمون على البعد بينهما:

   $$E={\displaystyle \frac{U}{d}}$$

   التعويض

   مع $d=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}$:

   $$E={\displaystyle \frac{\mathrm{9<!--\; -->0<!--\; -->0}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}$$

   الجواب

   $$E=\mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{V}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

2. 2. احسب شدَّة القوَّة الكهربائيَّة التي يخضع لها إلكترون من الحزمة.

   العلاقة

   القوّة الكهربائيّة على الإلكترون $\overrightarrow{F_E}=-e\vec{E}$، حاملها حامل الحقل وجهتها بعكسه، وشدّتها:

   $$F_E=eE$$

   التعويض

   $$F_E=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}\times \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4$$

   الجواب

   $$F_E=\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}\mathrm{N}$$

3. 3. ادرس حركة إلكترون من الحزمة بين لبوسي المكثِّفة وحدِّد معادلة حامل مساره بالنسبة مراقب خارجي.

   العلاقة

   نختار مبدأ الفواصل نقطة دخول الإلكترون ومبدأ الزمن لحظة دخوله، ومحوراً أفقيّاً $\overrightarrow{x^{\mathrm{\prime }}x}$ بجهة السرعة $\overrightarrow{v_0}$، ومحوراً شاقوليّاً $\overrightarrow{y^{\mathrm{\prime }}y}$ نحو اللبوس الموجب، ونفرضه اللبوس العلويّ. الثقل مهمل، فالقوّة الوحيدة $\overrightarrow{F_E}$، ثابتةٌ وشاقوليّة نحو الأعلى.

   التعويض

   على المحور الأفقيّ لا قوّة، $a_x=0$، فالحركة مستقيمةٌ منتظمة بسرعة $v_0$:

   $$x=v_{0}t(1)$$

   التعويض

   على المحور الشاقوليّ التسارع ثابت، والسرعة الابتدائيّة عليه معدومة، فالحركة متسارعةٌ بانتظام:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle a_y={\displaystyle \frac{eE}{m_e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}}}}\\ {\displaystyle a_y=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}}\\ {\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_y{t}^2(2)}\end{array}$$

   العلاقة

   من (1) $t={\displaystyle \frac{x}{v_0}}$، نعوّض في (2):

   $$y={\displaystyle \frac{a_y}{2v_0^2}}{x}^2={\displaystyle \frac{eU}{2m_{e}d{v}_0^2}}{x}^2$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{a_y}{2v_0^2}}={\displaystyle \frac{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}}{2\times (4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7{)}^2}}}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{a_y}{2v_0^2}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}{\mathrm{m}}^{-1}}\end{array}$$

   الجواب

   $$y=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}{x}^2$$

   حيث $x$ و$y$ بالمتر. فالمسار بين اللبوسين جزءٌ من قطعٍ مكافئ ينحني نحو اللبوس الموجب، كما في الكتاب، الصفحة 205.

4. 4. حساب شدَّة المغناطيسيّ المعامد للحقل الكهربائيّ المتولِّد بين لبوسي المكثِّفة الذي يجعل الإلكترون يتحرَّك بحركة مستقيمة منتظمة.

   العلاقة

   المطلوب شدّة الحقل المغناطيسيّ $\vec{B}$. الحركة المستقيمة المنتظمة تعني أنّ محصّلة القوى على الإلكترون معدومة، فالقوّة المغناطيسيّة $\overrightarrow{F_B}=-e\vec{v}\wedge \vec{B}$ تعاكس القوّة الكهربائيّة وتساويها شدّةً:

   $$\overrightarrow{F_E}+\overrightarrow{F_B}=\vec{0}$$

   العلاقة

   نجعل $\vec{B}$ عموديّاً على السرعة أيضاً، $\sin \theta =1$، فشدّة القوّة المغناطيسيّة $F_B=e{v}_{0}B$:

   $$eE=e{v}_{0}B\Rightarrow B={\displaystyle \frac{E}{v_0}}$$

   التعويض

   $$B={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4}{4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}}$$

   جهة الحقل

   الحقل الكهربائيّ نحو الأسفل، فالقوّة الكهربائيّة على الإلكترون نحو الأعلى، ويجب أن تكون القوّة المغناطيسيّة نحو الأسفل. بقاعدة اليد اليمنى للشحنة السالبة يكون $\vec{B}$ أفقيّاً عموديّاً على السرعة، داخلاً في مستوي الرسم:

   الجواب

   $$B=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{T}$$

   أفقيٌّ عموديٌّ على السرعة وعلى الحقل الكهربائيّ، داخلٌ في مستوي الرسم إذا كان اللبوس الموجب في الأعلى.