المسألة الأولى من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. جد إحداثيات النقاط $A$ و$B$ و$C$ و$D$ و$E$.(15 درجةً)

   الجوابالدرجة: 3+3+3+3+3

   أشعّة المعلم هي $\vec{i}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ و$\vec{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$ و$\vec{k}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$، فـ$\overrightarrow{AB}=4\vec{i}$ و$\overrightarrow{AD}=4\vec{j}$ و$\overrightarrow{AE}=3\vec{k}$. والقاعدة مربّع، فـ$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\vec{i}+4\vec{j}$. والنقطة $A$ مبدأ المعلم:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle A(0,0,0),B(4,0,0)}\\ {\displaystyle C(4,4,0),D(0,4,0)}\\ {\displaystyle E(0,0,3)}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا اعتبر الطالب المعلم هو $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ وتابع الحل بأسلوب سليم يخسر 3 درجات»، أي من جعل أشعّة المعلم $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{AD}$ و$\overrightarrow{AE}$ نفسها لا أجزاءها، وأكمل الحلّ على هذا المعلم بأسلوبٍ سليم، خسر ثلاث درجات.

2. 2. جد إحداثيات النقطة $M$ التي تحقق $4\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CE}$.(18 درجةً)

   المركّباتالدرجة: 3+3

   لتكن $M(x,y,z)$. مركّبات الشعاع هي فروق إحداثيّات طرفيه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{CM}(x-4,y-4,z)}\\ {\displaystyle \overrightarrow{CE}(-4,-4,3)}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 3+3+3+3

   نعوّض في $4\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CE}$ ونساوي المركّبات المتقابلة:

   $$\{\begin{array}{l}4(x-4)=-\mathrm{1<!--\; -->2}\\ 4(y-4)=-\mathrm{1<!--\; -->2}\\ 4z=9\end{array}⟹M(1,1,\frac{9}{4})$$

   فـ$\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CE}$، أي $M$ نقطةٌ من القطعة $[CE]$ تبعد عن $C$ ثلاثة أرباع طولها.

3. 3. احسب $\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{BC}$ واستنتج نوع المثلث $EBC$، ثمّ احسب مساحته.(28 درجةً)

   الشعاعانالدرجة: 3+3

   $$\overrightarrow{EB}(4,0,-3),\overrightarrow{BC}(0,4,0)$$

   العلاقةالدرجة: 3+3

   في معلمٍ متجانس، إذا كان $\vec{u}(x,y,z)$ و$\vec{v}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }},z^{\mathrm{\prime }})$، فالجداء السلّميّ $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{BC}}\\ {\displaystyle =4\times 0+0\times 4+(-3)\times 0}\\ {\displaystyle \overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{BC}=0}\end{array}$$

   نوع المثلّثالدرجة: 4

   الجداء معدوم والشعاعان غير معدومين، فـ$\overrightarrow{EB}$ و$\overrightarrow{BC}$ متعامدان، والمثلّث $EBC$ قائمٌ في $B$.

   الطولانالدرجة: 3+3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \parallel \overrightarrow{EB}\parallel =\sqrt{4^2+0^2+(-3{)}^2}=5}\\ {\displaystyle \parallel \overrightarrow{BC}\parallel =\sqrt{0^2+4^2+0^2}=4}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 3+3

   الضلعان $[EB]$ و$[BC]$ ضلعا الزاوية القائمة، فالمساحة نصف جداء طوليهما:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle S=\frac{1}{2}EB\times BC}\\ {\displaystyle S=\frac{1}{2}\times 5\times 4=\mathrm{1<!--\; -->0}}\end{array}$$

4. 4. أعط تمثيلاً وسيطياً للمستقيم $(EC)$.(9 درجات)

   العلاقة

   المستقيم $(EC)$ يمرّ بـ$E(0,0,3)$ وشعاع توجيهه $\overrightarrow{EC}(4,4,-3)$. في كلّ سطرٍ معامل $t$ من الشعاع، والثابت من النقطة.

   الجوابالدرجة: 3+3+3

   $$(EC):\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t\\ z=-3t+3\end{array},t\in \mathbb{R}$$

   تحقّق: $t=1$ تعطي $C(4,4,0)$، و$t=\frac{1}{4}$ تعطي $M(1,1,\frac{9}{4})$ من الطلب الثاني، فهي على المستقيم كما يجب.

5. 5. اكتب معادلة للمستوي $(EBC)$، واحسب بُعد النقطة $A$ عن المستوي $(EBC)$، ثمّ استنتج حجم الهرم $AEBC$.(33 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3+3

   الشعاع غير المعدوم $\vec{n}(a,b,c)$ ناظمٌ على $(EBC)$ إذا كان عموديّاً على الشعاعين غير المرتبطين خطّيّاً $\overrightarrow{EB}$ و$\overrightarrow{BC}$:

   $$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}4a-3c=0\\ 4b=0\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   من الثانية $b=0$، ومن الأولى $c=\frac{4}{3}a$. نختار $a=3$:

   $$\vec{n}(3,0,4)$$

   معادلة المستويالدرجة: 5+5

   المستوي المارّ بالنقطة $(x_0,y_0,z_0)$ والذي يقبل $\vec{n}(a,b,c)$ ناظماً معادلته $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$. نعوّض $\vec{n}(3,0,4)$ و$E(0,0,3)$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 3(x-0)+0(y-0)+4(z-3)=0}\\ {\displaystyle (EBC):3x+4z-\mathrm{1<!--\; -->2}=0}\end{array}$$

   تحقّق: $B$ تعطي $\mathrm{1<!--\; -->2}+0-\mathrm{1<!--\; -->2}=0$، و$C$ تعطي $\mathrm{1<!--\; -->2}+0-\mathrm{1<!--\; -->2}=0$.

   البُعدالدرجة: 2+2+3

   نرمز لبُعد $A$ عن $(EBC)$ بـ$h$. بُعد النقطة $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ عن مستوٍ معادلته $ax+by+cz+d=0$ في معلمٍ متجانس يُعطى بالعلاقة الآتية كما في الدرس، ثمّ نعوّض $A(0,0,0)$ و$a=3$ و$b=0$ و$c=4$ و$d=-\mathrm{1<!--\; -->2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{\mid a\alpha +b\beta +c\gamma +d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\\ {\displaystyle h=\frac{\mid 0+0+0-\mathrm{1<!--\; -->2}\mid }{\sqrt{3^2+0^2+4^2}}}\\ {\displaystyle h=\frac{\mathrm{1<!--\; -->2}}{5}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 2+2+3

   الهرم $AEBC$ رأسه $A$ وقاعدته المثلّث $EBC$، فارتفاعه بُعد $A$ عن مستوي القاعدة، أي $h$، ومساحة قاعدته $S=\mathrm{1<!--\; -->0}$ من الطلب الثالث:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{1}{3}S\times h}\\ {\displaystyle V=\frac{1}{3}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{\mathrm{1<!--\; -->2}}{5}=8}\end{array}$$

   وللتحقّق: الهرم نفسه رأسه $E$ وقاعدته المثلّث $ABC$، ومساحة المثلّث $ABC$ تساوي $8$، أي نصف مساحة المربّع، وارتفاعه $AE=3$، فحجمه $\frac{1}{3}\times 8\times 3=8$.