المستقيم والمستوي بصفتهما مراكز أبعاد متناسبةالهندسة الفراغية

يفتح الكتاب بجملةٍ تقول إنّه لا جديد هنا: «كما هي الحال في المستوي، في الفراغ أيضاً». المستقيم $(AB)$ هو مجموعة النقاط $M$ التي تحقّق $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ حيث $t$ عددٌ حقيقيّ كيفيّ، والقطعة $[AB]$ هي المجموعة نفسها عندما تُحصر $t$ في $[0,1]$. هذا معروفٌ من المستوي. الجديد كلّه في السطر التالي: الكتاب يعيد كتابة الشيء نفسه بلغة مركز الأبعاد المتناسبة.

تذكّر: الكتاب لا يقول في نصّ المبرهنة إنّ $A$ و$B$ مختلفتان. يقولها أوّل تمرينٍ في تَدَرَّبْ: «النقطتان $A$ و$B$ نقطتان مختلفتان». والسبب واضحٌ إن جرّبت: لو كانت $A=B$ لصار $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$، وأعطت كلّ قيمةٍ لـ$t$ النقطة $A$ نفسها، فتنكمش «المجموعة» إلى نقطةٍ واحدة ولا يكون هناك مستقيم. اقرأ المبرهنة وفي ذهنك $A\mathrm{\ne }B$.

انتبه: الكتاب يبدّل اتّجاه أشعّته بين برهانٍ وآخر، وفي صفحةٍ واحدة من الفرق. صفحة 67 تكتب $(1-t)\overrightarrow{AM}+t\overrightarrow{BM}=\vec{0}$، وصفحة 68 تكتب $(1-x-y)\overrightarrow{MA}+x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. الصورتان صحيحتان، وبينهما ضربٌ بـ$-1$ لا أكثر. لكن من يخلط بينهما في السطر نفسه يقلب إشارةً واحدةً ويخرج بنتيجةٍ خاطئة. اختر في كلّ تمرينٍ اتّجاهاً واحداً والتزمه إلى آخر السطر.

بعد البرهان يضع الكتاب ملاحظةً صغيرة بجانب رسم مصباح، وهي أوّل قفزةٍ حقيقيّة في الدرس. الصورة $(1-t,t)$ مريحةٌ للبرهان ومزعجةٌ للحساب: في التمارين تُعطى المعاملات كما هي، $(A,3)$ و$(B,5)$، لا على صورة $1-t$ و$t$. الملاحظة تحلّ ذلك بالتنظيم.

تذكّر: القسمة على $\alpha +\beta$ لا تُحرّك النقطة. هذه هي الحقيقة التي تحمل الملاحظة كلّها: ضربُ جميع المعاملات في عددٍ غير معدوم يترك مركز الأبعاد المتناسبة في موضعه. ولذلك يجوز لك دائماً أن تنظّم المعاملات حتّى يصير مجموعها $1$، متى احتجتَ إلى قراءة $t$.

انتبه: احترِس من الشرط الثالث، فهو الوحيد الذي لا يتعلّق بمعاملٍ واحد بل بالمجموع. إذا كان $\alpha +\beta =0$ فلا يوجد مركز أبعادٍ متناسبة أصلاً، ولا نقطة تحلّ المسألة: في الحالة $(A,3)$ و$(B,-3)$ تصير المساواة $3\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$، أي $3\overrightarrow{BA}=\vec{0}$، وهي مستحيلةٌ لأنّ $A\mathrm{\ne }B$. تحقّق من المجموع قبل أن تبدأ الحساب، لا بعده.

انتبه: وهنا الفخّ الأكبر في الدرس كلّه، وهو فخُّ إشارةٍ واحدة. الملاحظة التي قرأتَها الآن تسمح بـ$\alpha \ge 0$ و$\beta \ge 0$، أي بالمعامل المعدوم، وتصف القطعة. والنتيجة التي تأتي بعدها في السطر التالي تشترط $\alpha >0$ و$\beta >0$ و$\gamma >0$، موجبةً تماماً، وتصف داخل المثلّث. الكتاب لا يعلن هذا الانتقال في أيّ سطر، يحدث وأنت تنتقل بعينك من الملاحظة إلى النتيجة. من يحمل $\ge$ معه إلى النتيجة يصف المثلّث مغلقاً، أي الداخل مع حدوده معاً، فيُدخل في جوابٍ عن الداخل وحده نقاطاً واقعةً على الحدود. جرّب: $\gamma =0$ يعطي نقطةً على $[AB]$، وهي ليست من الداخل.

حتّى الآن كان كلّ شيء على مستقيمٍ واحد. النتيجة الآتية تقفز إلى المستوي بنقطةٍ ثالثة، ومعها يظهر شكلٌ جديد: لا مستقيمٌ ولا قطعة، بل مساحة. والشرط عليها هو الشرط الوحيد الذي يُكتب في هذا الدرس بعلامة $>$ لا $\ge$.

انتبه: الاتّجاه الأوّل وحده ليس برهاناً للنتيجة. النتيجة تقول إنّ مجموعتين متساويتان، والمساواة تحتاج احتواءين: أن يقع كلّ مركزٍ بمعاملاتٍ موجبة داخل المثلّث، وأن يُكتب كلّ نقطةٍ داخل المثلّث على تلك الصورة. الكتاب يكتب الثاني بكلمة «وبالعكس» ولا يستغني عنه. من يبرهن الأوّل ويتوقّف قد أثبت نصف النتيجة، ونصفُ مساواةٍ بين مجموعتين ليس شيئاً.

يفتح الكتاب القسم الثاني بتذكيرٍ لا ببرهان: المستوي $(ABC)$ هو مجموعة النقاط $M$ التي تحقّق $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ حيث $x$ و$y$ عددان حقيقيّان كيفيّان. هذا معروفٌ من الوحدة الأولى. ومبرهنة 3 تفعل بهذه المساواة ما فعلته مبرهنة 1 بالمستقيم: تكتبها بلغة مركز الأبعاد المتناسبة، لا أكثر ولا أقلّ.

انتبه: لا تقرأ $x$ و$y$ إحداثيّاتٍ لنقطة. هما معاملان، جاءا من التفكيك $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$، ولا علاقة لهما بأيّ معلمٍ ولا بأيّ محور. ومن كتب المعامل الأوّل $1$ بدل $1-x-y$ كسر الشرط الذي يحمل المبرهنة كلّها: المجموع يجب أن يبقى $1$. التحقّق يكلّف سطراً واحداً، $(1-x-y)+x+y=1$.

حلّ المثالين في صفحتي 68 و69 لا يقوم على مبرهنة 1 ولا على مبرهنة 3، بل على الخاصّة التجميعيّة وحدها، ومعها ملاحظتان يضعهما الكتاب بجانب مصباح، وهما الاستراتيجيّة كلّها. ونحن نسمّي في الحلّ أدناه المبرهنة التي تُجيز كلّ قراءةٍ للمعاملات، لأنّ تسميتها تعلّم، لكنّها ليست خطوةً في برهان الكتاب.

تذكّر: لإثبات وقوع ثلاث نقاطٍ على استقامة واحدة يكفي إثبات أنّ إحداها مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين الأخريين. ولإثبات وقوع أربع نقاطٍ في مستوٍ واحد يكفي إثبات أنّ إحداها مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط الثلاث الأخرى. جملتان متشابهتان، وفرقهما عددٌ واحد: نقطتان تعيّنان مستقيماً، وثلاثٌ تعيّن مستوياً.

انتبه: في نصّ الكتاب المطبوع صفحة 68 ترتيبُ الحروف مخالفٌ للشكل: مكتوبٌ «$K$ و$I$ منتصفا الحرفين $[AB]$ و$[CD]$»، أي $K$ أوّلاً، وكلمة «بالترتيب» غائبة. لكنّ الشكل والحلّ المطبوعين معاً يجعلان $I$ منتصف $[AB]$ و$K$ منتصف $[CD]$، وهذا ما نتبعه. القاعدة العامّة: في مثل هذه التعدادات قابِل النصّ بالشكل قبل أن تحسب. وفي المثال الثاني صفحة 69 تظهر كلمة «بالترتيب»، وهناك يُلتزم الترتيب كما هو.