الأشعّة تقول لك الاتّجاه، والجملة تقول لك الباقي. في هذا الدرس سؤالان: أين يلتقي مستويان، وأين يلتقي مستقيمٌ ومستوٍ. والطريق واحدٌ في الحالتين: اقرأ الأشعّة أوّلاً لتعرف أيّ الحالات ممكنة، ثمّ اكتب الجملة، ثمّ عُدّ حلولها. لا حلّ يعني التوازي، حلٌّ وحيد يعني نقطة، وعددٌ لا نهائيّ يعني مستقيماً أو مستوياً كاملاً. وبين نصّ الكتاب وجدوله فجوةٌ سنسدّها.
تقاطع مستويين
كلّ ما في هذا الدرس يجري في معلمٍ متجانس، يضعه الكتاب في سطرٍ واحد تحت العنوان بعبارة «جملة متجانسة»، ويسمّيه في تدريبات الصفحة نفسها «معلماً متجانساً». الاسمان لشيءٍ واحد، والاختلاف في الصياغة لا في المعنى. ولمستويين معادلتان ديكارتيّتان، ومن معاملات كلٍّ منهما تقرأ شعاعها الناظم بلا حساب. والسؤال الأوّل يُحسم بالأشعّة وحدها: هل الشعاعان الناظمان مرتبطان خطّيّاً أم لا.
1.3. تقاطع مستويين
- ليكن و. يمكن، من حيث المبدأ، معرفة إن كانا متوازيين أو متقاطعين انطلاقاً من كون شعاعيهما الناظمين مرتبطين خطّيّاً أو غير ذلك.
- وإذا كانا متقاطعين، فإحداثيّات نقاط التقاطع هي حلول هذه الجملة. ولها عددٌ لا نهائيّ من الحلول، تمثّلها نقاط المستقيم ، الفصل المشترك للمستويين.
الكتاب المدرسي، صفحة 74
تذكّر: معادلتان بثلاثة مجاهيل ليستا جملةً ناقصة. وإذا كان المستويان متقاطعين، فنقصُ معادلةٍ عن عدد المجاهيل هو بالضبط ما يترك بُعداً واحداً حرّاً، وذلك البُعد هو المستقيم. ومن رأى المجاهيل أكثر من المعادلات وأعلن «لا حلّ» قلب النتيجة رأساً على عقب: انعدام الحلّ يأتي من تناقضٍ بين سطرين، لا من نقصٍ في عددها.
انتبه: وهنا جملةٌ من الكتاب تستحقّ أن تُحفظ بنصّها: المستقيم ليس معرفاً بتمثيل وسيطي، بل هو مجموعة النقاط حيث هي حلول . أي إنّ معادلتَي المستويين وصفٌ للمستقيم لا تمثيلٌ وسيطيّ له. إن طُلب منك تمثيلٌ وسيطيّ، فعليك أن تصنعه بحلّ الجملة، ولا يكفي أن تنقل المعادلتين.
انتبه: واحذر الخطوة التي تسبق ذلك كلّه: الشعاعان الناظمان المرتبطان خطّيّاً لا يقولان «متوازيان ومختلفان»، بل يتركان احتمالين، الانطباق والتوازي المختلف. الفصل بينهما بخطوةٍ واحدة: خذ نقطةً من أحد المستويين وضعها في معادلة الآخر. الفكرة نفسها التي فصلت في الدرس السابق بين مستقيمين متوازيين.
جرّب بنفسك
المستويان و. ما وضعهما؟
كيف أبدأ؟
اقرأ الشعاعين الناظمين وقارن مركّباتهما. إن خرجا مرتبطين خطّيّاً فأنت أمام احتمالين، ولا يفصل بينهما إلّا نظرةٌ إلى الحدّ الثابت أو نقطةٌ تضعها في المعادلة الأخرى.
الحلّ خطوة بخطوة
1 من 4مثال الكتاب صفحة 75، وعنوانه «تعيين التمثيل الوسيطي للفصل المشترك لمستويين». تيقّن أنّ و متقاطعان، ثمّ جِدْ تمثيلاً وسيطيّاً لفصلهما المشترك .
المطلوب
① تيقّن من التقاطع أوّلاً
اقرأ الشعاعين الناظمين من المعاملات، ثمّ قارن المركّبات: و ليستا متساويتين، فالمركّبات غير متناسبة. إذن الشعاعان غير مرتبطين خطّيّاً والمستويان متقاطعان.
تقاطع مستقيم ومستو
السؤال الثاني يغيّر الأشعّة التي تقارنها. عند مستويين قارنّا ناظماً بناظم. وهنا تقارن شعاع توجيه المستقيم بالشعاع الناظم للمستوي، وهما شيئان مختلفان: الناظم يُقرأ من معادلة المستوي، والموجّه من التمثيل الوسيطي. من خلط بينهما قارن شيئاً بنفسه.
2.3. تقاطع مستقيم ومستو
- ليكن مستوياً له الشعاع الناظم ، وليكن مستقيماً يوجّهه ويمرّ بالنقطة . يمكن، من حيث المبدأ، معرفة إن كان موازياً لـ أو قاطعاً له تبعاً لكون عموديّاً على أو لم يكن. وعبارة «من حيث المبدأ» من الكتاب، وهي التي تترك الثغرة التي يشرحها التحذير التالي.
- وإذا قطع المستويَ ، فإحداثيّات نقطة التقاطع هي الثلاثيّة التي تحلّ هذه الجملة، صفحة 75.
الكتاب المدرسي، صفحة 74
انتبه: وهنا فجوةٌ بين نصّ الكتاب وجدوله، وهي أهمّ ما في هذا الدرس. النصّ في صفحة 74 يذكر حالتين: موازٍ أو قاطع، بحسب . والجدول في الصفحة التالية يعرض ثلاثاً. والسبب أنّ ينفي الاختراق ولا يقول أين يقع المستقيم: قد يكون خارج المستوي تماماً، وقد يكون محتوىً فيه. النصّ لا يقول كيف تفصل بينهما، والجواب سطرٌ واحد: خذ نقطةً من المستقيم وضعها في معادلة المستوي. تحقّقت المعادلة فالمستقيم داخل المستوي، وإلّا فهو يوازيه ولا يلمسه.
الحلّ خطوة بخطوة
1 من 4مثال الكتاب صفحة 76، وعنوانه «تعيين تقاطع مستقيم ومستوٍ». النقطتان و والمستوي . تيقّن أنّ يقطع في نقطةٍ ، وعيّن إحداثيّاتها.
المطلوب
① الجداء السّلّمي يحسم الوجود
احسب . خرج ، وهو غير معدوم، فالشعاعان غير متعامدين، وذلك يُثبت التقاطع. ولاحظ ما لا يقوله هذا: عدم التعامد لا يعني التوازي ولا يعني شيئاً عن الاتّجاه، بل ينفي الحالتين الأُخريين فقط.
جرّب بنفسك
المستوي والمستقيم المعرَّف بـ و و. ما وضعهما؟
كيف أبدأ؟
احسب الجداء السّلّمي أوّلاً، فهو يحسم حالةً واحدة من الثلاث. إن خرج معدوماً فأنت في الفجوة التي شرحها التحذير أعلاه، وعندها ضَع نقطةً من المستقيم في معادلة المستوي.