المسألة الثانية من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. جد نهاية $f$ عند أطراف مجموعة تعريفه، وعيّن ما للخطّ البياني $C$ من مقاربات.(20 درجةً)

   النهاية الأولىالدرجة: 5

   عند $-\mathrm{\infty }$ يسعى $e^x$ إلى $0$، فلا عدم تعيين:

   $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\frac{4\times 0-2}{0+1}=-2$$

   النهاية الثانيةالدرجة: 5

   عند $+\mathrm{\infty }$ يسعى البسط والمقام كلاهما إلى $+\mathrm{\infty }$، فالصيغة غير معيّنة. نُخرج $e^x$ عاملاً مشتركاً من البسط والمقام ونختصره:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)=\frac{e^x(4-2e^{-x})}{e^x(1+e^{-x})}}\\ {\displaystyle f(x)=\frac{4-2e^{-x}}{1+e^{-x}}}\\ {\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\frac{4-0}{1+0}=4}\end{array}$$

   لأنّ ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-x}=0$.

   الجوابالدرجة: 5+5

   فالمستقيم $y=-2$ مقاربٌ أفقيٌّ لـ$C$ في جوار $-\mathrm{\infty }$، والمستقيم $y=4$ مقاربٌ أفقيٌّ له في جوار $+\mathrm{\infty }$:

   $$y=-2,y=4$$

   وليس له مقاربٌ شاقوليّ، لأنّ المقام $e^x+1$ لا ينعدم، فالتابع معرّفٌ ومستمرٌّ على $\mathbb{R}$ كلّها.

2. 2. ادرس تغيّرات التابع $f$ ونظم جدولاً بها.(15 درجةً)

   المشتقالدرجة: 5

   التابع $f$ اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$، فهو نسبة تابعين اشتقاقيّين ومقامه لا ينعدم. نضع $u=4e^x-2$ و$v=e^x+1$، فـ$u^{\mathrm{\prime }}=4e^x$ و$v^{\mathrm{\prime }}=e^x$، و$f^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}\\ {\displaystyle =4e^x(e^x+1)-(4e^x-2)e^x}\\ {\displaystyle =4e^x+2e^x=6e^x}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{6e^x}{{(e^x+1)}^2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   البسط $6e^x$ والمقام موجبان تماماً، فـ$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ أيّاً كان $x$، والتابع $f$ متزايدٌ تماماً على $\mathbb{R}$. وعلى طرفَي الجدول النهايتان من الطلب الأوّل:

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$+$
   $f(x)$	$-2$	$\nearrow$	$4$

   العددان $-2$ و$4$ نهايتان لا يبلغهما التابع، فمجموعة قيمه المجال $]-2,4[$.

3. 3. اكتب معادلة المماس $T$ للخط البياني $C$ في النقطة التي فاصلتها $x=0$.(15 درجةً)

   الصورةالدرجة: 5

   $$f(0)=\frac{4-2}{1+1}=1$$

   الميلالدرجة: 5

   $$f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{6}{(1+1{)}^2}=\frac{3}{2}$$

   الجوابالدرجة: 5

   معادلة المماس في النقطة التي فاصلتها $a$ هي $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$، وهنا $a=0$:

   $$T:y=\frac{3}{2}x+1$$

4. 4. ليكن التابع $g$ المعرّف على $\mathbb{R}$ وفق $g(x)=f(x)-y_T$، ادرس اطراد التابع $g$، ثمّ استنتج الوضع النسبي للخط $C$ مع المماس $T$.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   $y_T=\frac{3}{2}x+1$، فـ$g(x)=f(x)-\frac{3}{2}x-1$، وهو اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$. نوحّد المقامات في مشتقّه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{6e^x}{{(e^x+1)}^2}-\frac{3}{2}}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\mathrm{1<!--\; -->2}{e}^x-3{(e^x+1)}^2}{2{(e^x+1)}^2}}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-3{(e^x-1)}^2}{2{(e^x+1)}^2}}\end{array}$$

   البسط سالبٌ أو معدوم والمقام موجبٌ تماماً، فـ$g^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0$ أيّاً كان $x$.

   انعدام المشتقالدرجة: 5

   $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺e^x=1⟺x=0$$

   القيمةالدرجة: 5

   $$g(0)=f(0)-\frac{3}{2}\times 0-1=0$$

   جدول الاطّرادالدرجة: 5

   المشتق سالبٌ تماماً إلّا عند $x=0$ حيث ينعدم، فالتابع $g$ متناقصٌ تماماً على $\mathbb{R}$. وعند الطرفين يبقى $f(x)$ بين $-2$ و$4$، ويسعى $-\frac{3}{2}x-1$ إلى $+\mathrm{\infty }$ عند $-\mathrm{\infty }$ وإلى $-\mathrm{\infty }$ عند $+\mathrm{\infty }$:

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
   $g^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$-$
   $g(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\mathrm{\infty }$

   إشارة التابعالدرجة: 5

   التابع $g$ متناقصٌ تماماً و$g(0)=0$. فإذا كان $x<0$ كان $g(x)>g(0)=0$، وإذا كان $x>0$ كان $g(x)<g(0)=0$.

   الجوابالدرجة: 5+5

   إشارة $g(x)=f(x)-y_T$ تعيّن موقع $C$ من $T$: على $]-\mathrm{\infty },0[$ يقع $C$ فوق $T$، وعلى $]0,+\mathrm{\infty }[$ يقع $C$ تحت $T$، ويتقاطعان في النقطة $A(0,1)$ وحدها، لأنّ $g$ لا ينعدم إلّا عند $0$.

5. 5. ارسم في معلم واحد المماس $T$، ومقاربات $C$، ثم ارسم $C$.(10 درجات)

   المستقيماتالدرجة: 2+2+2

   المماس $T:y=\frac{3}{2}x+1$ يمرّ بالنقطتين $(0,1)$ و$(2,4)$، والمقاربان $y=4$ و$y=-2$ مستقيمان أفقيّان.

   الجوابالدرجة: 4

   ثمّ نرسم $C$ مستعينين بجدول التغيّرات والوضع النسبيّ: يصعد من جوار المقارب $y=-2$ إلى جوار المقارب $y=4$، ويمرّ بـ$A(0,1)$ حيث يقطع المماس $T$، فيكون فوق $T$ يسار $A$ وتحته يمينها، ويقطع محور الفواصل عند $x=-\ln 2$، أي قرب $-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->9}$.

6. 6. استنتج رسم $C_1$ الخط البياني للتابع $h$ المعرّف على $\mathbb{R}$ وفق $h(x)=\frac{6e^x}{e^x+1}$.(5 درجات)

   التعويضالدرجة: 5

   نجمع $2$ إلى $f(x)$ ونوحّد المقامين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)+2=\frac{4e^x-2+2(e^x+1)}{e^x+1}}\\ {\displaystyle f(x)+2=\frac{6e^x}{e^x+1}=h(x)}\end{array}$$

   فـ$h(x)=f(x)+2$، والخطّ $C_1$ ينتج من $C$ بانسحابٍ شعاعه $2\vec{j}$، أي نحو الأعلى بمقدار $2$. وسلّم التصحيح يذكر بعد هذه المساواة كتابة الانسحاب أو رسم $C_1$.

   الجواب

   فالخطّ $C_1$: