تقاطع ثلاثة مستوياتالهندسة الفراغية

كلّ ما يأتي يجري في جملة متجانسة $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$، يضعها الكتاب في سطرٍ واحد تحت العنوان، ويسمّيها في تدريبات الدرس نفسه «معلماً متجانساً». والاسمان لشيءٍ واحد. وليس في هذا الدرس مبرهنةٌ ولا نتيجةٌ ولا برهان، وهذا غير معتاد في هذا الكتاب: لحمه كلّه نصٌّ جارٍ، وصندوق صور، وجدول.

ابدأ بالملاحظة التي يبدأ بها الكتاب. إذا انطبق اثنان من المستويات الثلاثة فالمسألة ليست جديدة، إنّها تقاطع مستويين وقد دُرست في الفقرة السابقة. ولهذا يفترض الكتاب فيما يأتي أنّ المستويات الثلاثة مختلفة مثنى مثنى. ثمّ تأتي الفكرة في خطوتين: عيّن ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$ أوّلاً، ثمّ اقطع ما خرج بـ${\mathcal{P}}_3$. وإذا كان ما خرج مستقيماً فأنت في الدرس السابق بعينه.

ويعرض الكتاب الحالات في صندوقٍ واحد، ثلاثة عناوين وخمس صور. العنوان الأوّل «لا توجد نقاط مشتركة»، وتحته ثلاث صور، لأنّ انعدام النقطة المشتركة يحدث بثلاث طرقٍ مختلفة.

والعنوان الثاني «يوجد مستقيم مشترك»، وتحته صورةٌ واحدة: ثلاثة مستويات تمرّ كلّها بمستقيمٍ واحد، مثل ثلاث صفحاتٍ في كتابٍ مفتوح تشترك في الكعب.

والعنوان الثالث «توجد نقطة وحيدة مشتركة»، وتحته صورةٌ واحدة أيضاً: هي زاوية غرفة، ثلاثة مستويات تلتقي في نقطةٍ واحدة.

انتبه: والرمز $\mathrm{\Delta }$ يظهر في صورتَي الحالتين الثانية والثالثة، وليس هو هو. في «يوجد مستقيم مشترك» هو تقاطع المستويات الثلاثة كلّها. وفي «توجد نقطة وحيدة مشتركة» هو تقاطع مستويين فقط، والمستوي الثالث يقلّصه إلى النقطة $I$. الرمز واحدٌ والمعنى مختلف، وهذا الفرق هو كلّ الفرق بين الحالتين.

تذكّر: ولذلك فالدرس كلّه خطوتان. عيّن ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$ أوّلاً. فإن خرج خالياً فالتقاطع الثلاثيّ خالٍ، وانتهى الأمر بلا نظرٍ في ${\mathcal{P}}_3$. وإن خرج مستقيماً فأنت أمام مستقيمٍ ومستوٍ، وحالاته الثلاث معروفة من الدرس السابق: يقطعه في نقطة، أو يوازيه فلا يلقاه، أو يحويه فيبقى المستقيم كلّه مشتركاً.

لكلّ مستوٍ معادلةٌ ديكارتيّة، ولثلاثة مستويات ثلاث معادلات. ونقطةٌ تنتمي إلى الثلاثة معاً هي بالضبط ثلاثيّةٌ $(x,y,z)$ تحقّق المعادلات الثلاث في وقتٍ واحد. فالسؤال الهندسيّ صار سؤالاً واحداً في الجبر: حُلّ جملة ثلاث معادلات خطّيّة بثلاثة مجاهيل.

انتبه: والكتاب يعرض الحالات مرّتين وبترتيبين مختلفين، وهنا مصيدة. صندوق الصور صفحة 77 يرتّبها: لا نقاط مشتركة، ثمّ مستقيم مشترك، ثمّ نقطة وحيدة. والجدول صفحة 78 يرتّبها: لا نقاط مشتركة، ثمّ نقطة، ثمّ مستقيم، ثمّ مستوٍ. فالثانية في الصندوق هي الثالثة في الجدول والعكس. ومن قرأ الجدول بوصفه تسميةً لصور الصندوق بحسب الموضع نسب كلّ حالةٍ إلى غيرها. اقرأ النصّ، ولا تعتمد على الترتيب.

انتبه: وفي الجدول سطرٌ رابع لا صورة له في الصندوق: ${\mathcal{P}}_1={\mathcal{P}}_2={\mathcal{P}}_3$. وهو يناقض فرض الفقرة السابقة نفسها، «مختلفة مثنى مثنى»، والكتاب لا يقول إنّه رفع الفرض. والتوفيق بينهما بسيط: الفرض شرطٌ لبناء الفقرة الأولى وترتيب صورها، والجدول يصنّف كلّ الحالات بلا فرض. وعمليّاً هذا يعني خطوةً أولى في كلّ مسألة: انظر أوّلاً هل معادلتان من الثلاث تصفان المستوي نفسه.

ويضع الكتاب هنا سؤالاً تحت عنوان «تكريساً للفهم»: هل يفيد التفسير الهندسيّ في حلّ بعض جمل المعادلات؟ وجوابه نعم، فهو يتيح معرفةً سابقةً بعدد حلول الجملة، وذلك يجعل التحقّق من صحّة الحلّ الجبريّ يسيراً. والمثال الأوّل الآتي هو الدليل: ينتهي قبل أن يبدأ الحذف، لأنّ الأشعّة الناظمة دلّت على الطريق ثمّ حسمته مقارنةُ حدٍّ ثابتٍ واحد.

تذكّر: وهذا هو الخطأ الوحيد الذي يسمّيه الكتاب بنفسه في هذه الوحدة، في كتلة «أخطاء يجب تجنّبها» التي تختم الدرس في صفحة 80، وبنصّه: المعادلة $ax+by+cz+d=0$ ليست معادلة مستقيم في الفراغ بل هي معادلة مستو فيه. معادلةٌ خطّيّةٌ واحدةٌ بثلاثة مجاهيل تصف مستوياً، ما دام واحدٌ من معاملات $x$ و$y$ و$z$ غير معدوم. وللمستقيم في الفراغ إمّا معادلتان معاً، وإمّا تمثيلٌ وسيطيّ.

انتبه: وإذا خرج التقاطع مستقيماً، فلا تظنّ أنّ جوابك ناقص. الجدول يقبل $\mathrm{\Delta }$ معرَّفاً باثنتين من المعادلات الثلاث، وهذه صيغةٌ تامّة، وقد قال الدرس السابق الشيء نفسه بعبارةٍ أصرح. أمّا إن طُلب التمثيل الوسيطيّ صراحةً، فاصنعه بحلّ الجملة: أبقِ مجهولاً حرّاً وعبّر عن الآخرين به، ولا يكفي أن تنقل المعادلتين.