التّمثيلات الوسيطيّةالهندسة الفراغية

ابدأ من شرطٍ تعرفه: النقطة $M$ تقع على المستقيم $d$ المارّ بالنقطة $A$ والموجَّه بالشعاع $\vec{u}$ إذا وفقط إذا وُجد عددٌ حقيقيّ $t$ يحقّق $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$. هذه مساواةٌ شعاعيّة واحدة. اكتبها بالمركّبات في معلمٍ متجانس فتصير ثلاث معادلات، وذلك كلّ ما في المبرهنة.

تذكّر: اقرأ الجملة في اتّجاهين، فهذا ما يجعلها أداةً: معاملات $t$ الثلاثة هي مركّبات شعاع التوجيه، والحدود الثابتة هي إحداثيّات نقطةٍ من المستقيم. ضَع $t=0$ فتظهر النقطة أمامك. من قرأ الشعاع من الثوابت أو النقطة من معاملات $t$ قلب الدور كلّه.

انتبه: الكتاب لا يشترط في نصّ المبرهنة أن يكون $\vec{u}$ غير معدوم، لكنّ الشرط لازم: لو كان الشعاع معدوماً لأعطت الجملة النقطة $A$ نفسها مهما تغيّر $t$، فلا يكون هناك مستقيم بل نقطة. وإذا بنيتَ الشعاع بنفسك من نقطتين، فالشرط هو أن تكونا مختلفتين.

وبعد المبرهنة يقول الكتاب شيئاً يسهل تجاوزه، وهو الذي يجعل الوسيط مفيداً: لكلّ قيمةٍ للوسيط نقطةٌ وحيدة من المستقيم، ولكلّ نقطةٍ من المستقيم قيمةٌ وحيدة للوسيط. التقابل تامّ في الاتّجاهين، فالوسيط ليس وصفاً تقريبيّاً بل عنواناً دقيقاً لكلّ نقطة.

هذه أنظف فقرةٍ في الدرس، لأنّها لا تضيف معادلةً واحدة. المعادلات الثلاث هي معادلات مبرهنة 4 نفسها، والذي يتغيّر هو المجموعة التي يتحوّل فيها الوسيط: $\mathbb{R}$ كلّها تعطي المستقيم، وكلّ تضييقٍ لها يقتطع منه جزءاً. والكتاب يطبع مجال الوسيط بالأحمر في الحالتين، وهذا وحده يكفي إشارةً إلى أين ينظر. ولاحظ أنّه لا يشترط هنا أن تكون النقطتان مختلفتين، والشرط لازمٌ مع ذلك، وإلّا كان $\overrightarrow{AB}$ معدوماً.

تذكّر: القوس المعقوف يقف عند المبدأ. $[AB)$ يبدأ من $A$ ويمضي في جهة $B$، و$[BA)$ يبدأ من $B$ ويمضي في جهة $A$، وهما نصفان مختلفان لا صورتان لشيءٍ واحد. للانتقال بينهما تبدّل نقطة الانطلاق وشعاع التوجيه معاً، لا واحداً منهما.

انتبه: وهنا أكثر ما يضيع من العلامات بلا سبب: كتابة الجملة وإهمال المجال. المستقيم والقطعة ونصف المستقيم تكتب معادلاتها الثلاث بالحروف نفسها، ولا يفرّق بينها إلّا سطرٌ واحد قصير. جوابٌ بلا مجالٍ للوسيط ليس جواباً ناقصاً فحسب، بل لا يميّز ثلاثة أشكالٍ مختلفة.

لأنّ التمثيل غير وحيد، يصير هذا أوّل ما تُسأل عنه: هل هذان تمثيلان لمستقيمٍ واحد أم لمستقيمين؟ الكتاب يجيب في فقرة «تكريساً للفهم» بخطوتين، وكلتاهما ضروريّة.

السؤال الثاني في «تكريساً للفهم»: كيف ندرس تقاطع مستقيمين معرَّفين وسيطيّاً؟ الجواب يبدو مباشراً، ساوِ بين الجملتين، وفي هذه المساواة بالذات يضع الكتاب كلمةً واحدةً بالأحمر.

انتبه: انتبه: كون $I$ على $d$ يعني وجود قيمةٍ للوسيط تعطيها في جملة $d$. وكونها على $d^{\mathrm{\prime }}$ يعني وجود قيمةٍ للوسيط تعطيها في جملة $d^{\mathrm{\prime }}$. ولا شيء يجعل القيمتين متساويتين. الوسيط يخصّ المستقيم لا النقطة، ولذلك يقول الكتاب حرفيّاً إنّه يجب استعمال حرفٍ آخر، $s$ مثلاً، للوسيط على المستقيم الثاني. من كتب $t$ في الجملتين وجد تناقضاً حيث لا تناقض، وأعلن أنّ المستقيمين لا يتقاطعان.

في المستوي، مستقيمان غير متوازيين يتقاطعان حتماً. في الفراغ لا. يوجد وضعٌ ثالث لا مقابل له في المستوي: أن يكونا غير متوازيين ولا يلتقيا أبداً، وهو ما يسمّيه الكتاب متخالفين، أي غير واقعين في مستوٍ واحد. ولهذا وحده تصير دراسة الوضع خطوتين لا خطوة.

تذكّر: ابدأ بالأشعّة الموجّهة، هكذا يوصي الكتاب. إن كانت مرتبطةً خطّيّاً فالمستقيمان متوازيان، ويبقى أن تفصل بين المنطبقين والمتوازيين المختلفين بنقطةٍ واحدة. وإن لم تكن مرتبطة، فبقي احتمالان اثنان: متقاطعان أو متخالفان، ولا يحسم بينهما إلّا جملة المعادلات.

انتبه: ولا تخلط بين التمثيل الوسيطيّ والمعادلة الديكارتيّة. ثلاث معادلاتٍ بوسيطٍ واحد تصف مستقيماً، ومعادلةٌ واحدة من الشكل $ax+by+cz+d=0$ تصف مستوياً. وهذا هو الخطأ الوحيد الذي تنصّ عليه فقرة «أخطاء يجب تجنّبها» في نهاية الوحدة، صفحة 80، بنصّها: المعادلة $ax+by+cz+d=0$ ليست معادلة مستقيم في الفراغ بل هي معادلة مستو فيه. عُدّ المعادلات والوسائط قبل أن تسمّي الشكل.