المسألة الأولى من امتحان 2022، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. تحقّق أنّ النقاط $B$ و $C$ و $D$ لا تقع على استقامة واحدة.(22 درجةً)

   المركّباتالدرجة: 6+6

   نحسب مركّبات الشعاعين $\overrightarrow{BD}$ و$\overrightarrow{BC}$ بطرح إحداثيّات البداية من إحداثيّات النهاية:

   $$\overrightarrow{BD}(-1,-1,1),\overrightarrow{BC}(0,-1,1)$$

   عدم التناسبالدرجة: 6

   لو وُجد عددٌ حقيقيّ $k$ يحقّق $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{BC}$ لأعطت المركّبة الأولى $-1=k\times 0$، وهذا مستحيل. فالمركّبات غير متناسبة:

   $$\overrightarrow{BD}\mathrm{\ne }k\overrightarrow{BC}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R}$$

   الجوابالدرجة: 4

   الشعاعان $\overrightarrow{BD}$ و$\overrightarrow{BC}$ غير مرتبطين خطّيّاً، فالنقاط $B$ و$C$ و$D$ لا تقع على استقامة واحدة، وهي تعيّن مستوياً وحيداً $(BCD)$.

2. 2. أثبت أنّ: $y+z-1=0$ هي معادلة للمستوي $(BCD)$.(21 درجةً)

   تعويض النقاطالدرجة: 7+7+7

   النقاط $B$ و$C$ و$D$ ليست على استقامة واحدة، كما في الطلب الأوّل، فهي تعيّن مستوياً وحيداً. فيكفي أن نتحقّق أنّ إحداثيّات كلٍّ منها تحقّق المعادلة $y+z-1=0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle B(1,1,0):1+0-1=0}\\ {\displaystyle C(1,0,1):0+1-1=0}\\ {\displaystyle D(0,0,1):0+1-1=0}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «طريقة ثانية» بالدرجات نفسها: الناظم $\vec{n}(a,b,c)$ مع $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ و$\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ بثلاث درجاتٍ لكلٍّ منهما، و«إيجاد $a,b,c$» بـ 3+3+3، و«كتابة معادلة المستوي» بـ 3+3، «قانون + تعويض».

   الجواب

   النقاط الثلاث تنتمي إلى المستوي الذي معادلته $y+z-1=0$، وهي تعيّن مستوياً وحيداً، فهذا المستوي هو $(BCD)$:

   $$(BCD):y+z-1=0$$

   والطريقة الثانية: نبحث عن شعاعٍ غير معدوم $\vec{n}(a,b,c)$ ناظمٍ على $(BCD)$. من $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=-a-b+c=0$ و$\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=-b+c=0$ نجد $c=b$ و$a=0$، ونختار $b=1$ فيكون $\vec{n}(0,1,1)$. فالمعادلة من الشكل $y+z+d=0$، وبتعويض $B(1,1,0)$ يكون $1+d=0$، أي $d=-1$.

3. 3. أعط تمثيلاً وسيطياً للمستقيم $\mathrm{\Delta }$ المار من النقطة $A$ ويعامد المستوي $(BCD)$.(22 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 8

   المستقيم $\mathrm{\Delta }$ يعامد المستوي $(BCD)$، فالشعاع الناظم على المستوي شعاع توجيهٍ للمستقيم $\mathrm{\Delta }$. ومن المعادلة $0\times x+y+z-1=0$ نقرأ الناظم $\vec{n}(0,1,1)$، فنأخذ:

   $$\vec{u}=\vec{n}(0,1,1)$$

   التمثيل الوسيطيالدرجة: 5

   المستقيم المارّ بالنقطة $A(x_0,y_0,z_0)$ والذي يوجّهه الشعاع $\vec{u}(a,b,c)$ تمثيله الوسيطيّ، كما في الدرس:

   $$\{\begin{array}{l}x=at+x_0\\ y=bt+y_0\\ z=ct+z_0\end{array},t\in \mathbb{R}$$

   الجوابالدرجة: 3+3+3

   نعوّض $A(2,-2,2)$ و$\vec{u}(0,1,1)$:

   $$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=t-2\\ z=t+2\end{array},t\in \mathbb{R}$$

   المركّبة الأولى لـ$\vec{u}$ معدومة، فالسطر الأوّل $x=0\times t+2=2$ ثابتٌ على $\mathrm{\Delta }$ كلّه، والجملة مع ذلك تمثّل مستقيماً.

4. 4. عيّن إحداثيات النقطة $K$ المسقط القائم للنقطة $A$ على المستوي $(BCD)$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 10

   المسقط القائم $K$ للنقطة $A$ على المستوي هو نقطة تقاطع المستوي مع المستقيم المارّ من $A$ عموديّاً عليه، أي مع $\mathrm{\Delta }$. نعوّض التمثيل الوسيطيّ في معادلة المستوي $y+z-1=0$:

   $$(t-2)+(t+2)-1=0$$

   قيمة الوسيطالدرجة: 5

   $$2t-1=0⟺t=\frac{1}{2}$$

   الجوابالدرجة: 5

   نعوّض $t=\frac{1}{2}$ في السطور الثلاثة: $x=2$ و$y=\frac{1}{2}-2$ و$z=\frac{1}{2}+2$:

   $$K(2,-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$$

   تحقّق: $-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-1=0$، فـ$K$ في المستوي، و$\overrightarrow{AK}(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\vec{n}$ عموديّ عليه.

5. 5. اكتب معادلة للكرة التي تقبل $[AD]$ قطراً لها.(15 درجةً)

   المركزالدرجة: 5

   مركز الكرة التي تقبل $[AD]$ قطراً هو منتصف $[AD]$، ونسمّيه $\mathrm{\Omega }$. وإحداثيّات المنتصف نصفُ مجموع إحداثيّات الطرفين $A(2,-2,2)$ و$D(0,0,1)$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Omega }(\frac{2+0}{2},\frac{-2+0}{2},\frac{2+1}{2})}\\ {\displaystyle \mathrm{\Omega }(1,-1,\frac{3}{2})}\end{array}$$

   القطر ونصف القطرالدرجة: 2+3

   لدينا $\overrightarrow{AD}(-2,2,-1)$، فطول القطر في المعلم المتجانس هو $AD$، ونصف القطر $R$ نصفه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle AD=\sqrt{4+4+1}=3}\\ {\displaystyle R=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «عند حساب نصف القطر مباشرة ينال 5»، أي من حسب $R$ مباشرةً، مثلاً $R=\mathrm{\Omega }A$، نال درجات هذا السطر كلّها.

   الجوابالدرجة: 5

   الكرة $S$ هي مجموعة النقاط $M(x,y,z)$ التي تحقّق $\mathrm{\Omega }{M}^2=R^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle (x-1{)}^2+(y+1{)}^2}\\ {\displaystyle +{(z-\frac{3}{2})}^2=\frac{9}{4}}\end{array}$$

   تحقّق: $A$ تعطي $1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$، و$D$ تعطي $1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$، فطرفا القطر على الكرة.