المسألة الثانية من امتحان 2022، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. ادرس اطراد التابع $g$ واستنتج أنّ $g(x)\le 0$ مهما تكن $x\in \mathbb{R}$.(35 درجةً)

   المشتقالدرجة: 5+5

   التابع $g$ اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$، وفيه جداء $1-x$ و$e^x$، فنشتقّه بقاعدة الجداء، ومشتقّ $e^x$ هو $e^x$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x+(1-x)e^x}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x{e}^x}\end{array}$$

   انعدام المشتقالدرجة: 5

   العدد $e^x$ موجبٌ تماماً أيّاً كان $x$، فلا ينعدم:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺-x{e}^x=0}\\ {\displaystyle ⟺x=0}\end{array}$$

   الصورةالدرجة: 5

   $$g(0)=(1-0)e^0-1=0$$

   جدول الاطّرادالدرجة: 2+2+3+3

   إشارة $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x{e}^x$ هي إشارة $-x$، لأنّ $e^x>0$: موجبةٌ على $]-\mathrm{\infty },0[$ وسالبةٌ على $]0,+\mathrm{\infty }[$. فالتابع $g$ متزايدٌ تماماً ثمّ متناقصٌ تماماً:

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
   $g^{\mathrm{\prime }}(x)$		$+$	$0$	$-$
   $g(x)$		$\nearrow$	$0$	$\searrow$

   السؤال يطلب الاطّراد، أي الإشارات والأسهم، ولا يطلب نهايتَي $g$ عند طرفَي $\mathbb{R}$، فبقي الطرفان في الجدول بلا قيم.

   الجوابالدرجة: 5

   التابع $g$ متزايدٌ على $]-\mathrm{\infty },0]$ ومتناقصٌ على $[0,+\mathrm{\infty }[$، فأكبر قيمةٍ له على $\mathbb{R}$ هي $g(0)=0$:

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:g(x)\le 0$$

   ولا تتحقّق المساواة إلّا عند $x=0$.

2. 2. تحقق أن $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{g(x)}{1-x}$ على المجال $]-\mathrm{\infty },1[$، ثمّ ادرس تغيرات التابع $f$ ونظم جدولاً بها.(35 درجةً)

   المشتقالدرجة: 3+3+3+3+3

   على $]-\mathrm{\infty },1[$ يكون $1-x>0$، والتابع $x\mapsto \ln (1-x)$ هو $\ln \circ u$ مع $u(x)=1-x$ و$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-1$، ومشتقّه $\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}$. فالتابع $f$ اشتقاقيّ على هذا المجال، ومشتقّه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+\frac{-1}{1-x}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(1-x)e^x-1}{1-x}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{g(x)}{1-x}}\end{array}$$

   النهاية الأولىالدرجة: 5

   عند $-\mathrm{\infty }$ يسعى $e^x$ إلى $0$، ويسعى $1-x$ إلى $+\mathrm{\infty }$ فيسعى $\ln (1-x)$ إلى $+\mathrm{\infty }$:

   $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$

   النهاية الثانيةالدرجة: 5

   عند $1$ من اليسار يسعى $e^x$ إلى $e$، ويسعى $1-x$ إلى $0$ بقيمٍ موجبة فيسعى $\ln (1-x)$ إلى $-\mathrm{\infty }$:

   $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$$

   فالمستقيم $x=1$ مقاربٌ شاقوليٌّ للخطّ $C$. لا يطلبه السؤال، لكنّه يفيد في الرسم.

   الجوابالدرجة: 5+5

   المقام $1-x$ موجبٌ تماماً على $]-\mathrm{\infty },1[$، فإشارة $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ هي إشارة $g(x)$. ووجدنا في الطلب الأوّل أنّ $g(x)\le 0$ ولا ينعدم إلّا عند $0$. فالمشتقّ سالبٌ على المجال إلّا عند $x=0$ حيث ينعدم، والتابع $f$ متناقصٌ تماماً على $]-\mathrm{\infty },1[$، و$f(0)=e^0+\ln 1=1$:

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$1$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$-$
   $f(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$1$	$\searrow$	$-\mathrm{\infty }$

   انعدام المشتقّ عند $0$ لا يجعل $f(0)$ قيمةً حدّيّة، لأنّ المشتقّ لا يغيّر إشارته هناك.

3. 3. اكتب معادلة للمستقيم المماس $T$ للخط $C$ في نقطة منه فاصلتها $x=0$.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5+5

   معادلة المماس للخطّ $C$ في نقطته التي فاصلتها $a$، كما في الدرس، ثمّ الميل عند $a=0$ من الطلب الثاني:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T:y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{g(0)}{1-0}=0}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   والصورة $f(0)=e^0+\ln 1=1+0=1$، فنعوّض:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T:y=0\times (x-0)+1}\\ {\displaystyle T:y=1}\end{array}$$

   المماس أفقيّ، لأنّ المشتقّ ينعدم عند $0$.

4. 4. في معلم متجانس ارسم المستقيم $T$، ثمّ ارسم $C$ الخط البياني للتابع $f$.(10 درجات)

   الجوابالدرجة: 5+5

   نرسم $T$، المستقيمَ الأفقيّ $y=1$، ثمّ $C$ مستعينين بجدول التغيّرات: الخطّ نازلٌ على مجاله كلّه، ويمسّ $T$ في $A(0,1)$ ويعبره هناك، لأنّ $f(x)>1$ قبل $0$ و$f(x)<1$ بعده. ثمّ يقطع محور الفواصل قرب $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->2}$ وينزل إلى $-\mathrm{\infty }$ بجوار المقارب الشاقوليّ $x=1$.