الدرس 3: تقاطع مستقيمات ومستويات

المسألة الأولى من امتحان 2022، الدورة الأولى

100 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2022، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

في معلم متجانس $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ لدينا النقطة $A (1, 1, 2)$ والمستويان $P$ و $Q$ :

\begin{array}{c} P : x - y + 2 z - 1 = 0 \\ Q : 2 x + y + z + 1 = 0 \end{array}

المطلوب:

1.أثبت أنّ المستويين $P$ و $Q$ متقاطعان بفصل مشترك $d$ .
2.اكتب التمثيل الوسيطي للمستقيم $d$ .
3.اكتب معادلة للمستوي $R$ المار من $A$ ويعامد كلاً من المستويين $P$ و $Q$ .
4.جد إحداثيات النقطة $B$ الناتجة من تقاطع المستقيم $d$ والمستوي $R$ .
5.احسب بعد النقطة $A$ عن المستقيم $d$ .
6.اكتب معادلة الكرة $S$ التي مركزها النقطة $A$ وتمس المستوي $Q$ .

تنبيه: بُعد نقطةٍ عن مستقيمٍ في الفراغ لا يقلّ عن بُعدها عن أيّ مستوٍ يحوي هذا المستقيم، ويساويه إذا وفقط إذا وقع المسقط القائم للنقطة على ذلك المستوي على المستقيم نفسه. في هذه المسألة يتحقّق ذلك مع $Q$ : $\vec{A B}$ يوازي ${\vec{n}}_{Q}$ ، فيقع المسقط القائم لـ $A$ على $Q$ على $d$ ، وقانون بُعد نقطةٍ عن مستوٍ يعطي $\sqrt{6}$ . أمّا مع $P$ ، وهو يحوي $d$ أيضاً، فيعطي $\frac{\sqrt{6}}{2}$ . فمن حسب البُعد عن مستوٍ دون أن يُثبت وقوع المسقط على $d$ لم يبرّر جوابه.

الوسيط: التمثيل الوسيطي للفصل المشترك ليس وحيداً: لو اخترت $x$ وسيطاً بدل $z$ لخرج $(t, - t - 1, - t)$ ، وهو المستقيم نفسه. وعندها يتغيّر الوسيط في الطلبين الرابع والخامس، أمّا $B$ والبُعد فلا يتغيّران.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. أثبت أنّ المستويين $P$ و $Q$ متقاطعان بفصل مشترك $d$ .(15 درجةً)
الشعاعان الناظمانالدرجة: 5+5
نقرأ من معاملات المعادلتين شعاعاً ناظماً لكلٍّ من المستويين:
${\vec{n}}_{P} (1, - 1, 2), {\vec{n}}_{Q} (2, 1, 1)$
عدم التناسبالدرجة: 3
نقارن المركّبات: النسبتان $\frac{1}{2}$ و $\frac{- 1}{1}$ مختلفتان، فالمركّبات غير متناسبة:
$\frac{1}{2} \neq \frac{- 1}{1}$
الجوابالدرجة: 2
الشعاعان الناظمان غير مرتبطين خطّيّاً، فالمستويان $P$ و $Q$ غير متوازيين، أي متقاطعان، وتقاطعهما مستقيمٌ هو فصلهما المشترك $d$ .
2. اكتب التمثيل الوسيطي للمستقيم $d$ .(20 درجةً)
العلاقةالدرجة: 5
نقاط $d$ هي حلول جملة المعادلتين. نجمعهما طرفاً إلى طرف فيسقط $y$ :
$\begin{array}{c} {\begin{cases} x - y + 2 z - 1 = 0 \\ 2 x + y + z + 1 = 0 \end{cases} \\ 3 x + 3 z = 0 ⟺ x = - z \end{array}$
معادلتان بثلاثة مجاهيل، فيبقى مجهولٌ واحد حرّاً. نختار $z$ ونسمّيه وسيطاً: $z = t$ حيث $t \in R$ .
التعويضالدرجة: 5+5
من $x = - z$ نجد $x = - t$ . ومن المعادلة الأولى $y = x + 2 z - 1$ ، وبالتعويض:
$\begin{array}{c} x = - t \\ y = - t + 2 t - 1 = t - 1 \end{array}$
الجوابالدرجة: 5
$d : {\begin{cases} x = - t \\ y = t - 1 \\ z = t \end{cases}, t \in R$
تحقّق: في $P$ يكون $- t - (t - 1) + 2 t - 1 = 0$ ، وفي $Q$ يكون $- 2 t + (t - 1) + t + 1 = 0$ . وشعاع توجيه $d$ هو $\vec{u} (- 1, 1, 1)$ ، والمستقيم $d$ يمرّ بالنقطة $(0, - 1, 0)$ عند $t = 0$ .
3. اكتب معادلة للمستوي $R$ المار من $A$ ويعامد كلاً من المستويين $P$ و $Q$ .(15 درجةً)
العلاقةالدرجة: 5
المستوي $R$ يعامد $P$ و $Q$ ، فشعاعه الناظم غير المعدوم ${\vec{n}}_{R}$ عموديّ على ${\vec{n}}_{P}$ وعلى ${\vec{n}}_{Q}$ . وشعاع توجيه $d$ يحقّق ذلك:
$\begin{array}{c} \vec{u} \cdot {\vec{n}}_{P} = - 1 - 1 + 2 = 0 \\ \vec{u} \cdot {\vec{n}}_{Q} = - 2 + 1 + 1 = 0 \end{array}$
و ${\vec{n}}_{P}$ و ${\vec{n}}_{Q}$ غير مرتبطين خطّيّاً، فكلّ شعاعٍ عموديّ عليهما معاً يوازي $\vec{u}$ . نأخذ ${\vec{n}}_{R} = \vec{u} (- 1, 1, 1)$ ، أي إنّ $R$ عموديّ على الفصل المشترك $d$ .
شكل المعادلةالدرجة: 5
المستوي يقبل ${\vec{n}}_{R}$ ناظماً، فمعادلته من الشكل الآتي. نرمز للحدّ الثابت بـ $δ$ لا بـ $d$ كما في الدرس، لأنّ $d$ في هذه المسألة اسم المستقيم:
$- x + y + z + δ = 0$
التعويضالدرجة: 3
المستوي يمرّ بـ $A (1, 1, 2)$ ، فإحداثيّاتها تحقّق المعادلة:
$- 1 + 1 + 2 + δ = 0 ⟺ δ = - 2$
الجوابالدرجة: 2
$R : - x + y + z - 2 = 0$
ويذكر سلّم التصحيح طريقةً ثانية بخمس خطوات، لكلٍّ منها ثلاث درجات: المستوي $R$ يحوي $A$ ويوازي ${\vec{n}}_{P}$ و ${\vec{n}}_{Q}$ ، فالنقطة $M (x, y, z)$ منه إذا وفقط إذا وُجد عددان $α$ و $β$ يحقّقان $\vec{A M} = α {\vec{n}}_{P} + β {\vec{n}}_{Q}$ . نعوّض فنصل إلى ثلاث معادلات بدلالة $α$ و $β$ ، ونحذفهما فنصل إلى المعادلة نفسها. والسلّم يكتب في هذه الطريقة ${\vec{n}}_{R}$ مكان ${\vec{n}}_{Q}$ ، وهو خطأٌ طباعيّ: الشعاع الناظم على $R$ لا يوازيه.
في سلّم التصحيح: «يمكن كتابة المعادلة بأحد الأسلوبين» $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ و $a x + b y + c z + δ = 0$ ، أي إمّا من النقطة والناظم مباشرةً، وإمّا بالحدّ الثابت كما هنا.
4. جد إحداثيات النقطة $B$ الناتجة من تقاطع المستقيم $d$ والمستوي $R$ .(15 درجةً)
العلاقةالدرجة: 6
نعوّض المعادلات الوسيطيّة للمستقيم $d$ في معادلة المستوي $R$ :
$\begin{array}{c} - (- t) + (t - 1) + t - 2 = 0 \\ 3 t - 3 = 0 \end{array}$
التعويضالدرجة: 3
للمعادلة حلٌّ وحيد، فالمستقيم يقطع المستوي في نقطةٍ واحدة، وهي توافق الوسيط:
$t = 1$
الجوابالدرجة: 2+2+2
نعوّض $t = 1$ في التمثيل الوسيطي للمستقيم $d$ :
$B (- 1, 0, 1)$
تحقّق: $- (- 1) + 0 + 1 - 2 = 0$ ، فـ $B$ من $R$ .
5. احسب بعد النقطة $A$ عن المستقيم $d$ .(20 درجةً)
العلاقةالدرجة: 3
لتكن $A^{'}$ المسقط القائم للنقطة $A$ على $d$ . هي نقطةٌ من $d$ ، فإحداثيّاتها $(- t, t - 1, t)$ لقيمةٍ ما للوسيط $t$ :
$\vec{A A^{'}} (- t - 1, t - 2, t - 2)$
التعامدالدرجة: 3+3
الشعاع $\vec{A A^{'}}$ عموديّ على شعاع التوجيه $\vec{u} (- 1, 1, 1)$ ، فجداؤهما السلّميّ معدوم:
$\begin{array}{c} \vec{A A^{'}} \cdot \vec{u} = 0 \\ (t + 1) + (t - 2) + (t - 2) = 0 \end{array}$
التعويضالدرجة: 3+3+2
أي $3 t - 3 = 0$ ، فـ $t = 1$ . نعوّض فنجد المسقط و $\vec{A A^{'}}$ :
$\begin{array}{c} t = 1 \\ A^{'} (- 1, 0, 1), \vec{A A^{'}} (- 2, - 1, - 1) \end{array}$
الجوابالدرجة: 3
بُعد $A$ عن $d$ هو نظيم $\vec{A A^{'}}$ :
$\begin{array}{c} A A^{'} = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2}} \\ A A^{'} = \sqrt{6} \end{array}$
المسقط $A^{'}$ هو النقطة $B$ نفسها، وهذا متوقَّع: المستوي $R$ عموديّ على $d$ ويمرّ بـ $A$ ، فـ $B$ هي النقطة الوحيدة من $d$ التي يكون عندها $\vec{A B}$ عموديّاً على $d$ . ومن هنا الطريقة الثانية في سلّم التصحيح: البُعد هو $A B = \sqrt{6}$ مباشرةً. وفي الطريقة الثالثة نأخذ $M (- t, t - 1, t)$ من $d$ ونكتب $A M^{2} = 3 t^{2} - 6 t + 9$ تابعاً للوسيط، فندرس اطّراده: أصغر قيمه $6$ عند $t = 1$ ، والبُعد $\sqrt{6}$ .
في سلّم التصحيح: «طريقة 2: حساب $A B$ + النتيجة» بالدرجات $5 + 15$ ، و«طريقة 3: حساب المسافة عن طريق وسيط وكتابة تابع ثم دراسة اطراده و استنتاج البعد»، أي إنّ الطريقتين مقبولتان مكان الخطوات الأربع.
6. اكتب معادلة الكرة $S$ التي مركزها النقطة $A$ وتمس المستوي $Q$ .(15 درجةً)
العلاقةالدرجة: 3+3+3
الكرة تمسّ $Q$ ، فنصف قطرها بُعد مركزها $A$ عن $Q$ . نرمز له بـ $r$ ، لأنّ $R$ اسم المستوي. وبُعد النقطة $(α, β, γ)$ عن مستوٍ معادلته $a x + b y + c z + δ = 0$ ، كما في الدرس:
$\begin{array}{c} \frac{∣ a α + b β + c γ + δ ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ r = \frac{∣ 2 \times 1 + 1 + 2 + 1 ∣}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} \\ r = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \end{array}$
الجوابالدرجة: 3+3
النقطة $M (x, y, z)$ تنتمي إلى الكرة التي مركزها $A (1, 1, 2)$ ونصف قطرها $r$ إذا وفقط إذا كان $A M^{2} = r^{2}$ ، كما في الدرس، مع $r^{2} = 6$ :
$\begin{array}{c} S : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \\ + (z - 2)^{2} = 6 \end{array}$
ونقطة التماسّ هي $B$ : فـ $\vec{A B} (- 2, - 1, - 1) = - {\vec{n}}_{Q}$ عموديّ على $Q$ ، و $B$ من $Q$ ، و $A B = \sqrt{6}$ .