المسألة الثانية من امتحان 2022، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب نهايات التابع $f$ عند أطراف مجموعة تعريفه.(15 درجةً)

   النهاية الأولىالدرجة: 5

   مجموعة التعريف $\mathbb{R}$، وطرفاها $-\mathrm{\infty }$ و$+\mathrm{\infty }$. عند $+\mathrm{\infty }$ يسعى $e^{-2x}$ إلى $0$ ويسعى $2x-2$ إلى $+\mathrm{\infty }$، فلا عدم تعيين:

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   عند $-\mathrm{\infty }$ يسعى $e^{-2x}$ إلى $+\mathrm{\infty }$ ويسعى $2x-2$ إلى $-\mathrm{\infty }$، فالصيغة غير معيّنة. نُخرج $e^{-2x}$ عاملاً مشتركاً:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)=e^{-2x}(1+2x{e}^{2x}-2e^{2x})}\\ {\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }}\end{array}$$

   لأنّ ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}2x{e}^{2x}=0$، إذ نضع $t=2x$ فيسعى $t$ إلى $-\mathrm{\infty }$ و$t{e}^t$ إلى $0$، و$e^{2x}$ يسعى إلى $0$. فما في القوس يسعى إلى $1$، و$e^{-2x}$ إلى $+\mathrm{\infty }$.

2. 2. بيّن أنّ المستقيم $\mathrm{\Delta }$ الذي معادلته $y=2x-2$ مقارب مائل للخط $C$ عند $+\mathrm{\infty }$ وادرس الوضع النسبي للخط $C$ و$\mathrm{\Delta }$.(12 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3+3

   نحسب الفرق بين $f(x)$ و$2x-2$، ثمّ نهايته عند $+\mathrm{\infty }$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)-(2x-2)=e^{-2x}}\\ {\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-2x}=0}\end{array}$$

   فالمستقيم $\mathrm{\Delta }:y=2x-2$ مقاربٌ مائلٌ للخط $C$ عند $+\mathrm{\infty }$.

   الجوابالدرجة: 3+3

   الوضع النسبيّ: إشارة الفرق هي إشارة $e^{-2x}$، وهو موجبٌ تماماً أيّاً كان $x$:

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:f(x)-(2x-2)>0$$

   فالخطّ $C$ يقع فوق $\mathrm{\Delta }$ على $\mathbb{R}$ كلّها، ولا يلتقيان، لأنّ الفرق لا ينعدم.

3. 3. ادرس تغيرات التابع $f$ ونظّم جدولاً بها، ثمّ بيّن أن للمعادلة $f(x)=0$ جذرين في $\mathbb{R}$ أحدهما ينتمي إلى المجال $[-1,0]$.(45 درجةً)

   المشتقالدرجة: 5

   التابع $f$ اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$، ومشتقّ $e^{-2x}$ هو $-2e^{-2x}$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-2x}+2$$

   انعدام المشتقالدرجة: 3+3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺e^{-2x}=1}\\ {\displaystyle ⟺x=0}\\ {\displaystyle f(0)=e^0+0-2=-1}\end{array}$$

   جدول التغيّراتالدرجة: 4+4+4+4

   إذا كان $x<0$ كان $-2x>0$ و$e^{-2x}>1$، فالمشتق سالب على $]-\mathrm{\infty },0[$. وإذا كان $x>0$ كان $e^{-2x}<1$، فالمشتق موجب على $]0,+\mathrm{\infty }[$. فالتابع $f$ متناقصٌ تماماً ثمّ متزايدٌ تماماً، وقيمته الصغرى $-1$ عند $x=0$.

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$

   في سلّم التصحيح: «إشارة+ إشارة+ سهم +سهم»، أي أربع درجاتٍ لكلٍّ منها.

   المجال الأوّلالدرجة: 2+2+2

   ليكن $I=]-\mathrm{\infty },0[$. التابع $f$ مستمرٌّ ومتناقصٌ تماماً على $I$، وصورة المجال $f(I)=]-1,+\mathrm{\infty }[$. والصفر ينتمي إلى هذه الصورة، فللمعادلة $f(x)=0$ جذرٌ وحيد $\alpha$ في $I$.

   المجال الثانيالدرجة: 2+2+2

   ليكن $J=]0,+\mathrm{\infty }[$. التابع $f$ مستمرٌّ ومتزايدٌ تماماً على $J$، وصورة المجال $f(J)=]-1,+\mathrm{\infty }[$. والصفر ينتمي إليها، فللمعادلة جذرٌ وحيد $\beta$ في $J$. ولا جذر عند $0$ لأنّ $f(0)=-1$، فللمعادلة في $\mathbb{R}$ جذران فقط.

   قيمتانالدرجة: 2+2

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(-1)=e^2-2-2=e^2-4>0}\\ {\displaystyle f(0)=-1<0}\end{array}$$

   لأنّ $e^2\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->9}$ أكبر من $4$.

   الجوابالدرجة: 2

   التابع $f$ مستمرّ على $[-1,0]$ والقيمتان عند طرفيه مختلفتا الإشارة:

   $$f(-1)\cdot f(0)<0$$

   فللمعادلة جذرٌ في $]-1,0[$، وهو من $I$، فهو الجذر $\alpha$ نفسه لأنّ جذرها في $I$ وحيد. إذن $\alpha \in [-1,0]$، وقيمته نحو $-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->7}$، والجذر الآخر $\beta$ نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->2}$.

4. 4. ارسم $\mathrm{\Delta }$ و$C$، ثمّ احسب مساحة السطح المحصور بين محور التراتيب و$C$ و$\mathrm{\Delta }$ والمستقيم $x=1$.(22 درجةً)

   الرسمالدرجة: 5+5

   نرسم $\mathrm{\Delta }$ من نقطتين منه، مثل $(0,-2)$ و$(1,0)$. ثمّ نرسم $C$ فوقه مستعينين بجدول التغيّرات: قيمته الصغرى $-1$ عند $x=0$، ويقطع محور الفواصل مرّتين، قرب $-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->7}$ وقرب $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->2}$، ويقترب من $\mathrm{\Delta }$ كلّما كبر $x$.

   العلاقةالدرجة: 2+3

   وجدنا في الطلب الثاني أنّ $C$ فوق $\mathrm{\Delta }$ على $\mathbb{R}$ كلّها، ومحور التراتيب هو المستقيم $x=0$. فالمساحة تكامل الفرق $f(x)-(2x-2)=e^{-2x}$ من $0$ إلى $1$:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathcal{A}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(f(x)-(2x-2))dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{e}^{-2x}dx}\end{array}$$

   التابع الأصليّالدرجة: 3

   بقاعدة التابع الأصليّ لـ$u(ax+b)$ مع $a=-2$: التابع $x\mapsto -\frac{1}{2}{e}^{-2x}$ تابعٌ أصليّ لـ$x\mapsto e^{-2x}$.

   $$\mathcal{A}={[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}]}_0^1$$

   الجوابالدرجة: 2+2

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathcal{A}=-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}{e}^0}\\ {\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}(1-e^{-2})}\end{array}$$

   أي $\mathcal{A}=\frac{e^2-1}{2e^2}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->3}$ وحدة مساحة.

5. 5. استنتج الخط البياني $C^{\mathrm{\prime }}$ للتابع $g$ المعرّف على $\mathbb{R}$ وفق: $g:x\mapsto -e^{2x}+2x+2$.(6 درجات)

   العلاقةالدرجة: 3

   نحسب $-f(-x)$ لكلّ $x$ من $\mathbb{R}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle -f(-x)=-(e^{2x}-2x-2)}\\ {\displaystyle -f(-x)=-e^{2x}+2x+2=g(x)}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 3

   النقطة $M(x,y)$ من $C$ إذا وفقط إذا كان $y=f(x)$، أي $-y=g(-x)$، أي إذا وفقط إذا كانت $M^{\mathrm{\prime }}(-x,-y)$ من $C^{\mathrm{\prime }}$. والنقطة $M^{\mathrm{\prime }}$ نظيرة $M$ بالنسبة إلى مبدأ الإحداثيّات، فالخطّ $C^{\mathrm{\prime }}$ نظير $C$ بالنسبة إلى المبدأ $O$، ونرسمه بالتناظر.

   في سلّم التصحيح: «او بطريقة الرسم»، أي يُقبل أيضاً رسم $C^{\mathrm{\prime }}$ نظيراً لـ$C$ دون كتابة العلاقة.