التمرين الثالث من امتحان 2023، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أعط معادلة للمستوي المحوري للقطعة المستقيمة $[AB]$.(30 درجةً)

   الشعاع الناظمالدرجة: 5+5

   المستوي المحوري للقطعة $[AB]$ مجموعة النقاط التي تبعد عن $A$ و$B$ المسافة نفسها، وهو المستوي المارّ بمنتصف $[AB]$ والعموديّ على $(AB)$. فالشعاع غير المعدوم $\overrightarrow{AB}$ ناظمٌ عليه، ومركّباته النهاية ناقص البداية:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{AB}(-2-2,0-2,2-4)}\\ {\displaystyle \overrightarrow{AB}(-4,-2,-2)}\end{array}$$

   المنتصفالدرجة: 5

   إحداثيّات منتصف القطعة متوسّطات إحداثيّات طرفيها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I(\frac{2-2}{2},\frac{2+0}{2},\frac{4+2}{2})}\\ {\displaystyle I(0,1,3)}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   من المبرهنة 5 في درس «المعادلة الديكارتيّة لمستوٍ»، الجزء الثاني، للمستوي الذي يقبل $\vec{n}(a,b,c)$ شعاعاً ناظماً معادلةٌ من الشكل $ax+by+cz+d=0$. ومع $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$:

   $$-4x-2y-2z+d=0$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   المستوي يمرّ بـ$I(0,1,3)$، ثمّ نقسم الطرفين على $-2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 0-2-6+d=0⟺d=8}\\ {\displaystyle -4x-2y-2z+8=0}\\ {\displaystyle 2x+y+z-4=0}\end{array}$$

   تحقّق بالتعريف: نشر $M{A}^2=M{B}^2$ يعطي $-8x-4y-4z+\mathrm{1<!--\; -->6}=0$، وهي المعادلة نفسها مضروبةً بـ$-4$.

2. 2. أعط معادلة للمجموعة $S$ المكونة من النقاط $M(x,y,z)$ التي تحقق: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$، ما طبيعة المجموعة $S$؟(40 درجةً)

   المركّباتالدرجة: 5+5

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{MA}(2-x,2-y,4-z)}\\ {\displaystyle \overrightarrow{MB}(-2-x,-y,2-z)}\end{array}$$

   الجداء السلّميّالدرجة: 5+10

   في المعلم المتجانس $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$، ثمّ ننشر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle (2-x)(-2-x)+(2-y)(-y)}\\ {\displaystyle +(4-z)(2-z)=0}\\ {\displaystyle x^2-4+y^2-2y}\\ {\displaystyle +z^2-6z+8=0}\\ {\displaystyle x^2+y^2+z^2-2y-6z+4=0}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5+10

   نُكمل المربّعين: $y^2-2y=(y-1{)}^2-1$ و$z^2-6z=(z-3{)}^2-9$، فيصير الثابت $4-1-9=-6$:

   $$x^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=6$$

   وهي معادلة كرةٍ كما في الدرس، طرفها الأيمن $R^2=6$. فالمجموعة $S$ كرةٌ مركزها $I(0,1,3)$ منتصف $[AB]$، ونصف قطرها $R=\sqrt{6}$. و$AB=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->6}+4+4}=2\sqrt{6}$، فـ$S$ هي الكرة التي قطرها $[AB]$. وفي السلّم طريقةٌ ثانية: «مجموعة النقاط تمثل كرة قطرها [AB]» (15)، ثمّ «كتابة معادلة الكرة» (25). وفي سطر الجواب يقبل السلّم عبارة «مجموعة النقاط تمثل كرة قطرها [AB]» بدرجتيه 10 بدل ذكر المركز ونصف القطر.