هذا الدرس مكتوبٌ في الكتاب على أنّه تذكرة، لكنّه مفتاح الوحدة كلّها: الدروس الثلاثة الآتية تنقل ما فيه من المستوي إلى الفراغ حرفاً بحرف. والكتاب يفتحه بأربع صيغ متتالية بلا مثالٍ واحد، ثمّ يستعمل آخرها بعد صفحتين. سنقلب الترتيب: مع كلّ صيغةٍ متى تُستعمل، ثمّ نرى العدد نفسه محسوباً بطريقتين.
أربع عبارات لعددٍ واحد
الجداء السّلّمي لشعاعين عددٌ حقيقيّ، لا شعاع. والكتاب يعطي له أربع صيغ، وكلّها تعطي العدد نفسه. اختلافها في المعطيات التي تملكها: أحياناً تعرف الأطوال، وأحياناً المركّبات، وأحياناً الزاوية وحدها.
العبارات المختلفة للجداء السّلّمي
- الصيغة ①، ولا تشترط شيئاً: تصلح لأيّ شعاعين في المستوي، حتّى المعدوم. تُستعمل حين تعرف الأطوال وحدها.
- الصيغة ②، وتشترط أن يكون الشعاعان غير معدومين، و قياسٌ للزاوية الهندسيّة بينهما لا للزاوية الموجّهة.
- الصيغة ③، وتشترط معلماً متجانساً، و مركّبات و مركّبات بالترتيب. هذه أكثرها استعمالاً في الامتحان.
- الصيغة ④، حيث هو المسقط القائم للشعاع على المستقيم . تُستعمل حين لا تعرف أطوالاً ولا مركّبات، بل أوضاعاً هندسيّة.
الكتاب المدرسي، صفحة 39
تذكّر: الناتج عددٌ حقيقيّ. الكتاب يقولها في الصيغة ① صراحةً: «هو العدد الحقيقيّ». من كتب سهماً فوق فقد خلط بين عددٍ وشعاع.
انتبه: لكلّ صيغةٍ شرطها، والامتحان يمتحن الشرط لا الصيغة. الصيغة ② تسقط إذا كان أحد الشعاعين معدوماً، لأنّه لا زاوية عندئذٍ. والصيغة ③ تسقط في معلمٍ غير متجانس، مع أنّ الأعداد تُعوَّض فيها كما هي ولا شيء ينبّهك.
جرّب بنفسك
في معلمٍ متجانس، و. ما ؟
كيف أبدأ؟
المعطى مركّبات، فالصيغة ③ هي الأداة. اضرب الأولى بالأولى والثانية بالثانية، ثمّ اجمع. انتبه إلى الإشارات.
التعامد يُقرأ من عددٍ واحد
الفائدة الأولى للجداء السّلّمي أنّه يحوّل سؤالاً هندسيّاً، هل المستقيمان متعامدان، إلى سؤال حسابيّ: هل هذا العدد معدوم؟ ومن الصيغة ③ يصير الاختبار سطراً واحداً بالمركّبات.
مبرهنة وتعريف 1
- القول إنّ الشعاعين متعامدان يعني أنّ جداءهما السّلّمي معدوم، والمكافئ بالمركّبات صحيحٌ في معلمٍ متجانس.
- لأنّ الزاوية بين الشعاع وذاته معدومة، فيصير في الصيغة ②.
الكتاب المدرسي، صفحة 39
تذكّر: انتبه إلى ما لا يشترطه هذا الإطار: لا يطلب أن يكون الشعاعان غير معدومين، بخلاف الصيغة ②. فالشعاع المعدوم متعامدٌ مع كلّ شعاع بحسب هذا التعريف.
انتبه: يساوي لا . هو مربّع الطول، لا الطول. ومن خلط بينهما خسر كلّ مساواةٍ فيها مربّعات، وهي أكثر ما يُطلب في هذا الدرس.
جرّب بنفسك
في معلمٍ متجانس، و. هل الشعاعان متعامدان؟
كيف أبدأ؟
لا تنظر إلى الشكل ولا إلى الإشارات. احسب وقارن الناتج بالصفر، فهذا هو الاختبار كلّه.
بُعد نقطة عن مستقيم
الكتاب يضع الصيغة الآتية بلا تمهيد، ثمّ يبرهنها في الصفحة التالية. وهي من أكثر صيغ هذا الدرس حضوراً في الامتحان، لأنّها تختصر إنشاءً هندسيّاً كاملاً في سطر.
مبرهنة 2
- في معلمٍ متجانس، بُعد النقطة عن المستقيم الذي معادلته .
الكتاب المدرسي، صفحة 39
انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا. الأوّل: حذف القيمة المطلقة، فيخرج بُعدٌ سالب كلّما وقعت النقطة في الجهة الأخرى من المستقيم. الثاني: كتابة المقام بلا جذر، والمقام هو طول الشعاع الناظم لا مربّعه. الثالث: تطبيق الصيغة على معادلةٍ بالشكل مباشرةً، والصواب أن تُكتب أوّلاً ، فيكون و و.
الحلّ خطوة بخطوة
1 من 5برهان مبرهنة 2، كما في الكتاب صفحة 40. يستعمل البرهان الصيغة ③ مرّةً واحدة، وكلّ ما عداه جبرٌ بسيط، وهو يشرح من أين جاء المقام ولماذا هناك قيمةٌ مطلقة.
المطلوب
① الشعاع الناظم
الشعاع ناظمٌ للمستقيم ، أي عموديٌّ عليه، وهو غير معدوم لأنّ و لا ينعدمان معاً في معادلة مستقيم. والكتاب يستعمل هذه التسمية هنا من دون أن يكون قد عرّفها في هذا الدرس؛ ستعود إليك كاملةً في درس معادلة المستوي.
جرّب بنفسك
ما بُعد النقطة عن المستقيم الذي معادلته ؟
كيف أبدأ؟
المعادلة جاهزة بالشكل ، فاقرأ و و مباشرةً. عوّض إحداثيّات النقطة في البسط، وخذ القيمة المطلقة قبل القسمة.
ما يشبه ضرب الأعداد، وما لا يشبهه
الجداء السّلّمي يتصرّف كالضرب في أربع قواعد، ويخالفه في قاعدةٍ واحدة يكثر السقوط فيها. الكتاب يجمع الأربع في صفحة 40 تحت سؤال: كيف نُجري الحسابات باستعمال الجداء السّلّمي؟
قواعد الحساب
- التبديل: الترتيب لا يغيّر الناتج.
- التوزيع على الجمع، وهو ما يجعل حلّ المسائل ممكناً بالتفكيك.
- الأعداد تخرج من الجداء، أيّاً كان و حقيقيّين.
- التوزيع من الجهة الأخرى، وهو نتيجة التبديل مع التوزيع.
الكتاب المدرسي، صفحة 40
انتبه: القاعدة التي لا تنتقل: من لا يجوز الاختصار والقول . الكتاب يطبع «لا» بالأحمر في هذا الموضع. الصحيح أنّ ، أي أنّ عموديٌّ على ، وهذا أضعف بكثير من التساوي.
تذكّر: إذا كان الشعاعان مرتبطين خطّياً ولهما الجهة نفسها كان ، وإذا كانا متعاكسي الجهة كان . وفي الحالتين معاً .
جرّب بنفسك
علمت أنّ وأنّ غير معدوم. ماذا تستنتج؟
كيف أبدأ؟
انقل كلّ شيءٍ إلى طرفٍ واحد واستعمل التوزيع. ثمّ اسأل: ماذا يعني أن ينعدم جداءٌ سلّمي؟
ثلاثة تطبيقات، ومثال الكتاب
يسرد الكتاب في صفحة 40 ثلاث نتائج كلاسيكيّة من دون برهان. احفظها كما هي، فهي تظهر في مسائل المثلّثات أكثر ممّا يظهر التعريف نفسه.
تطبيقات
- علاقة الكاشي. الإشارة سالبة، وعند ينعدم الحدّ الأخير فتعود إلى فيثاغورس.
- مبرهنة المتوسّط، حيث طول المتوسّط الخارج من إلى منتصف .
الكتاب المدرسي، صفحة 40
والتطبيق الثالث يكتبه الكتاب كلاماً لا صيغة، فننقله كما هو: «في متوازي الأضلاع، مجموع مربّعات أطوال الأضلاع يساوي مجموع مربّعي طولي القطرين».
انتبه: في علاقة الكاشي الإشارة لا . وانتبه إلى اختبارٍ لا ينفع: عند ينعدم ، فيسقط الحدّ الأخير بالإشارتين معاً ولا يكشف شيئاً. الاختبار الذي يكشف: خذ مثلّثاً متساوي الأضلاع، و. الصيغة الصحيحة تعطي ، والخاطئة تعطي .
ويبقى المثال الوحيد المحلول في الدرس، وهو في صفحة 41. اقرأه بانتباه: إنّه الموضع الوحيد الذي تُستعمل فيه الصيغة ④، وهي الصيغة التي مرّت في أوّل الدرس بلا مثال.
الحلّ خطوة بخطوة
1 من 6مثلّثٌ قائم في ، و منتصف ، و موقع الارتفاع المرسوم من . ولتكن و المسقطين القائمين للنقطة على و بالترتيب. أثبت تعامد المستقيمين و. مسألةٌ بلا أعداد ولا معلم، كلّ ما فيها أوضاعٌ هندسيّة، ولذلك تُحلّ بالصيغة ④.
المطلوب
① ترجم المطلوب
تعامد مستقيمين يعني انعدام جداء شعاعين عليهما. فالمطلوب صار حساباً واحداً: أن نبرهن أنّ .
انتبه: في الخطوة ③ لم نقل إنّ ، فهما شعاعان مختلفان. المتساوي هو جداؤهما مع وحده، لأنّ الثاني مسقط الأوّل على .