المعادلة الدّيكارتيّة لمستوٍالهندسة الفراغية

المبرهنة تسير في الاتّجاهين، ولذلك هي جسرٌ لا قاعدة. الاتّجاه الأوّل يقول إنّ لكلّ مستوٍ معادلةً من هذا الشكل. والاتّجاه الثاني يقول إنّ كلّ معادلةٍ من هذا الشكل تصف مستوياً. من دون الاتّجاه الثاني لا يجوز لك أن تنظر إلى $2x-y+3z-5=0$ وتقول «هذا مستوٍ».

تذكّر: «ليست جميعها معدومة» لا تعني «كلٌّ منها غير معدوم». صفرٌ واحد أو صفران مسموحان تماماً: $\vec{n}(1,-1,0)$ و$\vec{n}(0,0,1)$ شعاعان ناظمان صحيحان، والمعادلتان $x-y-1=0$ و$z=2$ مستويان صحيحان. الممنوع هو الثلاثة معاً.

والاتّجاه الثاني يسير بالعكس، وفيه خطوةٌ لطيفة: النقطة $A$ ليست معطاةً، بل تُصنع. يكفي أن نجد عدداً واحداً من بين $a$ و$b$ و$c$ غير معدوم، وهو موجودٌ بالفرض. الكتاب يأخذ حالة $a\mathrm{\ne }0$ ويختار $x_0=-\frac{d}{a}$ و$y_0=z_0=0$، فتقع $A$ على المجموعة، ويسير البرهان الأوّل مقلوباً.

هذا أصغر تطبيقٍ ممكن للمبرهنة، وهو النمط الذي يتكرّر في السؤال الأوّل من كلّ تمرينٍ تقريباً: تُعطى نقطةٌ وشعاعٌ ناظم، وتُطلب المعادلة.

انتبه: 🚨 الكتاب نفسه يكتب في هذا الحلّ $\overrightarrow{MA}\cdot \vec{n}=0$، ثمّ يحسب بمركّبات $\overrightarrow{AM}$. لا فرق في النتيجة هنا لأنّ الطرف الأيمن صفر، و$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}$. لكنّ برهان المبرهنة 5 وخلاصة الوحدة في صفحة 51 يكتبان $\overrightarrow{AM}$ كلتاهما، وفي حساب البُعد تقلب هذه المبادلة الإشارة. اكتب $\overrightarrow{AM}$ دائماً.

المسألة النمطيّة الثانية: يُعطى مستوٍ $\mathcal{P}$ ونقطةٌ $A$، ويُطلب المستوي $\mathcal{Q}$ المارّ بـ$A$ والموازي لـ$\mathcal{P}$. لا تبحث عن شعاعٍ ناظمٍ جديد: المستويان المتوازيان يتشاركان ناظمهما. الثلاثة الأولى تُنقل كما هي، ويُحسَب $d$ وحده من شرط مرور $\mathcal{Q}$ بالنقطة.

تذكّر: هذه ليست قاعدةً مطبوعةً في الكتاب، بل ما تفعله تمارين الصفحة 50 عمليّاً: معادلة كلّ مستوٍ يوازي $\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0$ تحمل المعاملات الثلاثة نفسها، ويتغيّر الثابت وحده. و$d^{\mathrm{\prime }}$ يُعيَّن بتعويض إحداثيّات النقطة التي يجب أن يمرّ بها المستوي الجديد.

انتبه: 🚨 قبل أيّ حساب، انقل الطرف الأيمن إلى اليسار حتّى يصير صفراً. تمارين الصفحة 50 تعطي مستوياتها هكذا: $2x-y+3z=4$ و$z=2$ و$x+y=5$ و$5x-3y+4z=8$، أي ليست في الصيغة النظاميّة. من يقرأ $d=4$ بدل $d=-4$ يحصل على إشارةٍ مقلوبة في حساب البُعد ولا يلاحظ شيئاً، لأنّ الناتج يبقى عدداً معقولاً.

تذكّر: المعادلة ليست وحيدة. نصّ المبرهنة 5 يقول «معادلة ديكارتيّة» بالتنكير، وإن كان عنوان الدرس نفسه يحمل الأداة: كلّ مضاعفٍ غير معدوم يصف المستوي نفسه، فـ$x+y+2z+3=0$ و$2x+2y+4z+6=0$ مستوٍ واحد. لكن انتبه للعكس: تناسب المعاملات الثلاثة وحدها لا يكفي، يجب أن يتناسب الثابت معها بالنسبة نفسها.

الفقرة الثانية من الدرس تعطي الصيغة مباشرةً، بلا تمهيد. وهي أكثر صيغةٍ تُستعمل في مسائل الفراغ، لأنّها تحوّل سؤالاً هندسيّاً إلى تعويضٍ في أربعة أعداد.

تذكّر: اقرأ الصيغة مرّةً واحدةً بعينٍ ناقدة: البسط يخلط المستوي بالنقطة، والمقام لا يعرف النقطة أصلاً. المقام هو $\parallel \vec{n}\parallel$ وحده، فلو غيّرت النقطة بقي كما هو. من يضع $\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2}$ في المقام يكون قد قلب دور المستوي ودور النقطة.

انتبه: المبرهنة لا تشترط أن تكون $A$ خارج المستوي. إن كانت عليه صار البسط صفراً وأعطت الصيغة البُعد صفراً، وهو الجواب الصحيح. لا تتوقّف عن الحساب ظنّاً أنّ الحالة ممنوعة. وفي المقابل، لا تنسَ شرطتَي القيمة المطلقة: البسط قد يخرج سالباً، والبُعد لا يكون سالباً أبداً.

🚨 المثال الأخير في الدرس يقرأ وضع مستويين من ناظميهما، ويستعمل ثلاث قواعد لا تجد لها أثراً في هذه الصفحات: لا مبرهنة ولا تعريف. مكانها هو الدرس السابق، صفحة 46، تحت سؤال «كيف نعيّن الأوضاع النسبية لمستويين اعتماداً على الأشعة النّاظمة؟». من قفز إلى هنا مباشرةً سيحلّ التمارين بالتخمين.

تذكّر: سؤالان لا سؤال واحد. الأوّل: متوازيان أم متقاطعان؟ والثاني: متعامدان أم لا؟ والجواب بنعم على الثاني يستلزم التقاطع، أمّا العكس فلا: مستويان متقاطعان قد لا يكونان متعامدين، والكتاب يعطي المثال بنفسه، $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-7$.