المسألة الأولى من امتحان 2023، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. جد إحداثيات النقطة $G$ مركز ثقل المثلث $ABC$، وأثبت أن $(OG)$ عمودي على المستوي $(ABC)$.(35 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 6

   مركز ثقل المثلّث $ABC$ هو مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط $(A,1)$ و$(B,1)$ و$(C,1)$، ومجموع الأمثال $3\mathrm{\ne }0$. ومن المبرهنة 7 في درس «مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ»، الجزء الثاني، مع $M=O$:

   $$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$$

   التعويضالدرجة: 3

   مركّبات الشعاع الذي بدايته المبدأ هي إحداثيّات نهايته، فإحداثيّات $G$ هي متوسّط إحداثيّات الرؤوس الثلاثة:

   $$G(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$$

   الأشعّةالدرجة: 3+3+3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{AB}(-1,1,0),\overrightarrow{AC}(-1,0,1)}\\ {\displaystyle \overrightarrow{OG}(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})}\end{array}$$

   مركّبات $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{AC}$ غير متناسبة، فهما غير مرتبطين خطّيّاً، وهما شعاعان من المستوي $(ABC)$.

   الجداء السلّميّالدرجة: 3+3+3+3

   نعدّ المعلم متجانساً كما تفترض المسألة ضمناً، فالجداء السلّميّ بالمركّبات:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+0=0}\\ {\displaystyle \overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}+0+\frac{1}{3}=0}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5

   الشعاع غير المعدوم $\overrightarrow{OG}$ عموديّ على شعاعين غير مرتبطين خطّيّاً من المستوي $(ABC)$، فهو ناظمٌ عليه، والمستقيم $(OG)$ عموديّ على المستوي $(ABC)$.

2. 2. جد معادلة للمستوي $(ABC)$.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشعاع $\vec{n}=3\overrightarrow{OG}$ غير معدوم وله منحى $\overrightarrow{OG}$، فهو ناظمٌ على $(ABC)$ أيضاً، ومركّباته أعدادٌ صحيحة: $\vec{n}(1,1,1)$. فمعادلة المستوي من الشكل:

   $$x+y+z+d=0$$

   التعويضالدرجة: 5

   المستوي يمرّ بـ$A(1,0,0)$:

   $$1+0+0+d=0⟺d=-1$$

   الجوابالدرجة: 5

   $$(ABC):x+y+z-1=0$$

   تحقّق: $B$ تعطي $0+1+0-1=0$، و$C$ تعطي $0+0+1-1=0$.

   في سلّم التصحيح: «يمكن اعتماد طريقة النشاط بكتابة المعادلة $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ والتعويض والاصلاح في الطلبين الأول والثاني»، أي معادلة المستوي المارّ بالنقاط $(a,0,0)$ و$(0,b,0)$ و$(0,0,c)$ من المحاور، وهنا $a=b=c=1$.

3. 3. تعرّف النقاط $A^{\mathrm{\prime }}(2,0,0)$، $B^{\mathrm{\prime }}(0,2,0)$، $C^{\mathrm{\prime }}(0,0,4)$ المستوي $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }})$. أثبت أن $2x+2y+z-4=0$ معادلة للمستوي $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }})$.(18 درجةً)

   العلاقة

   المعادلة $2x+2y+z-4=0$ معادلة مستوٍ، لأنّ أمثال $x$ و$y$ و$z$ فيها ليست كلّها معدومة. فيكفي أن نتحقّق أنّ النقاط الثلاث تحقّقها.

   الجوابالدرجة: 6+6+6

   نعوّض إحداثيّات كلّ نقطة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}:2\times 2+0+0-4=0}\\ {\displaystyle B^{\mathrm{\prime }}:0+2\times 2+0-4=0}\\ {\displaystyle C^{\mathrm{\prime }}:0+0+4-4=0}\end{array}$$

   فالمستوي الذي معادلته $2x+2y+z-4=0$ يحوي النقاط الثلاث، وهي ليست على استقامةٍ واحدة لأنّ $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}(-2,2,0)$ و$\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}(-2,0,4)$ غير مرتبطين خطّيّاً، فلا يمرّ بها إلّا مستوٍ واحد، هو $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }})$. وبطريقة النشاط: $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1$، وبالضرب بـ$4$ نجد المعادلة نفسها.

4. 4. أثبت أنّ $\mathrm{\Delta }$ الفصل المشترك للمستويين $(ABC)$ و$(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }})$ يقبل التمثيل الوسيطي: $\mathrm{\Delta }\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-t\\ z=-2\end{array}:t\in \mathbb{R}$.(14 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 6+6

   لتكن $M(t,3-t,-2)$ نقطةً من المستقيم المعطى بهذا التمثيل. نعوّض إحداثيّاتها في معادلتَي المستويين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle t+(3-t)+(-2)-1=0}\\ {\displaystyle 2t+2(3-t)+(-2)-4=0}\end{array}$$

   المساواتان صحيحتان أيّاً كان $t$، فكلّ نقاط هذا المستقيم تقع في $(ABC)$ وفي $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }})$.

   الجوابالدرجة: 2

   والشعاعان الناظمان $\vec{n}(1,1,1)$ و${\vec{n}}^{\mathrm{\prime }}(2,2,1)$ غير مرتبطين خطّيّاً، فالمستويان متقاطعان، وفصلهما المشترك مستقيم. والمستقيم المعطى محتوى في كلٍّ منهما، فهو فصلهما المشترك $\mathrm{\Delta }$:

   $$\mathrm{\Delta }\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-t\\ z=-2\end{array},t\in \mathbb{R}$$

5. 5. احسب بعد النقطة $D(1,1,1)$ عن المستقيم $\mathrm{\Delta }$.(18 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 3+3

   بُعد $D$ عن $\mathrm{\Delta }$ هو الطول $D{D}^{\mathrm{\prime }}$، حيث $D^{\mathrm{\prime }}$ المسقط القائم لـ$D$ على $\mathrm{\Delta }$. والنقطة $D^{\mathrm{\prime }}$ من $\mathrm{\Delta }$، فإحداثيّاتها بدلالة وسيطٍ $t$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle D^{\mathrm{\prime }}(t,3-t,-2)}\\ {\displaystyle \overrightarrow{D{D}^{\mathrm{\prime }}}(t-1,2-t,-3)}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3+3

   شعاع توجيه $\mathrm{\Delta }$ هو $\vec{u}(1,-1,0)$، والشعاع $\overrightarrow{D{D}^{\mathrm{\prime }}}$ عموديّ عليه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{D{D}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \vec{u}=(t-1)-(2-t)+0=0}\\ {\displaystyle 2t-3=0⟺t=\frac{3}{2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 3+3

   فـ$D^{\mathrm{\prime }}(\frac{3}{2},\frac{3}{2},-2)$ و$\overrightarrow{D{D}^{\mathrm{\prime }}}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-3)$، وفي المعلم المتجانس:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle D{D}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+9}}\\ {\displaystyle D{D}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\frac{\mathrm{1<!--\; -->9}}{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3<!--\; -->8}}}{2}}\end{array}$$

   أي نحو $\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}$.