التّعامد في الفراغالهندسة الفراغية

لا برهان في المستهلّ ولا اشتقاق. الكتاب يضع التعريف وضعاً: في الفراغ، يتعامد شعاعان إذا وفقط إذا كان جداؤهما السّلّمي صفراً. ثمّ يترجم هذا الشرط الواحد إلى لغتين أخريين، لغة المستقيمات ولغة الإحداثيّات، وبهذا تكتمل أداة العمل قبل أن يُذكر أيّ مجسّم.

تذكّر: السطران الأوّل والثاني ليسا الشيء نفسه. الأوّل يقبل الشعاع المعدوم، والثاني يمنعه. والسبب بسيط: الشعاع المعدوم جداؤه مع كلّ شعاعٍ صفر، لكنّه لا يعيّن مستقيماً.

انتبه: صيغة الإحداثيّات $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}=0$ لا تعمل إلّا في معلمٍ متجانس. في معلمٍ كيفيّ تعطي عدداً ليس الجداء السّلّمي أصلاً. إن لم تقل المسألة «معلم متجانس»، فلا تستعمل الصيغة، وإن قالتها فاستعملها بلا تردّد.

الآن ينتقل الكتاب من شعاعين إلى شعاعٍ ومستوٍ، ويفعل ذلك بالمرور على مستقيم: الشعاع $\overrightarrow{AB}$ غير المعدوم يُسمّى ناظماً على المستوي $\mathcal{P}$ إذا كان المستقيم $\left(AB\right)$ عموديّاً على $\mathcal{P}$. ثمّ يعمّم على أيّ شعاعٍ $\vec{n}$ بالكلام عن منحاه، أي عن المستقيم الحامل لاتّجاهه، لا عن موضع طرفيه.

انتبه: لا تقبل $\vec{n}=\vec{0}$ شعاعاً ناظماً أبداً. لو قبلته لكان $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{0}=0$ محقّقاً عند كلّ نقطةٍ $M$ في الفراغ، فيصير «المستوي» هو الفراغ كلّه. الكتاب يعيد هذا الشرط في صفحة 51 أيضاً: «وهو لا يكون معدوماً أبداً».

إلى هنا كان كلّ شيء جبراً: عددٌ يساوي صفراً. في الفقرة 3.3 يبدّل الكتاب طريقة التفكير بلا إنذار. المستوي لم يعد شيئاً معطى نتكلّم عنه، بل صار شيئاً نصنعه: نأخذ مستقيماً $d$ شعاع توجيهه $\vec{n}$، ونقطةً $A$ عليه، ثمّ نجمع كلّ النقاط $M$ التي يكون $\left(AM\right)$ فيها عموديّاً على $d$. هذه المجموعة هي المستوي العمودي على $d$ في $A$.

والخطوة الأخيرة هي التي تُقرأ بسرعةٍ ولا تُفهم: «$\left(AM\right)$ عمودي على $d$» تُستبدل بـ«$\overrightarrow{AM}$ عمودي على $\vec{n}$»، أي بجداءٍ سلّميٍّ معدوم. الاستبدال مشروع لأنّ $\vec{n}$ شعاع توجيهٍ لـ$d$، فالعمود على المستقيم هو العمود على شعاع توجيهه. وبهذا يصير شرطُ الانتماء حساباً.

تذكّر: النقطة $A$ نفسها داخلةٌ في المستوي، والكتاب يضعها في قوسٍ صغير: «بالإضافة إلى النّقطة $A$ ذاتها». والسبب لا يقوله: عند $M=A$ لا يوجد مستقيم $\left(AM\right)$ لأنّ $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$. الصياغة بالمستقيمات تحتاج هذا الاستدراك، والصياغة الشعاعيّة لا تحتاجه، لأنّ $\vec{0}\cdot \vec{n}=0$ صحيحٌ من نفسه. وهذا بالضبط سبب اختيار الكتاب للصياغة الشعاعيّة في السطر الأخير.

الصفحة 46 تبدأ بنقصٍ يُسدّ. في الدرس السابق، عند حساب $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AG}$ في المكعّب، أسقط الكتاب النقطة $G$ على مستوٍ ثمّ على مستقيم، مع أنّه لم يكن قد عرّف إلّا الإسقاط على مستقيم. هنا يُثبت الحالة الأعمّ، وبرهانها قصير.

انتبه: لا تبحث عن الزاوية القائمة في الرسم لتبرّر $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}=0$. السبب ليس ما تراه، بل الوضع: $\left(C{C}^{\mathrm{\prime }}\right)$ عمودٌ على المستوي، وكلّ مستقيمٍ في ذلك المستوي عموديٌّ عليه، ومنها $\left(AB\right)$. الرسم في الفراغ يكذب على العين كثيراً.

الفقرتان الباقيتان من الصفحة 46 لا تحملان برهاناً، بل أداتين تُستعملان في كلّ تمرينٍ تقريباً. الأولى تجيب: كيف نُثبت أنّ مستقيماً عموديٌّ على مستوٍ من دون أن نتكلّم عن كلّ مستقيمات ذلك المستوي؟

انتبه: شعاعٌ واحد لا يكفي. إن أثبتّ $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ وحدها، فقد أثبتّ أنّ $d$ عموديٌّ على مستقيمٍ واحد من المستوي، لا على المستوي. وشعاعان متوازيان لا يكفيان أيضاً، لأنّهما لا يفرشان مستوياً. تحقّق أوّلاً أنّ $\vec{v}$ و$\vec{w}$ ليسا مضاعفين لبعضهما.

والأداة الثانية تقرأ وضع مستويين من ناظِمَيهما وحدهما، بلا رسمٍ وبلا تقاطع.

انتبه: الارتباط الخطّي للناظمين لا يفرّق بين التوازي والانطباق، والكتاب يضع «أو منطبقين» في قوس. للتفريق بينهما تحتاج نقطةً: خذ نقطةً من أحد المستويين وانظر هل تحقّق شرط الآخر.

المثال الوحيد في هذا الدرس هو ما يسمّيه الكتاب «خاصّة الأعمدة الثلاثة»، وهي نتيجةٌ كلاسيكيّة تُحلّ هنا بثلاثة أسطر بفضل الفقرة السابقة. وبجانب الحلّ مصباحٌ يحمل الفكرة كلّها: لإثبات تعامد مستقيمين، يكفي إثبات تعامد شعاعٍ موجّهٍ لأحدهما مع شعاعٍ موجّهٍ للآخر.

انتبه: لا تخلط بين $\vec{u}$ والشعاع الناظم. هنا $\vec{u}$ يقع في المستوي $\mathcal{P}$ ويوجّه مستقيماً داخله، والشعاع الناظم يخرج من المستوي عموديّاً. اكتب بجانب كلّ شعاعٍ في مسوّدتك أين يقع، فالخلط بين الاثنين هو أكثر ما يُفسد حلول هذه الفقرة.