الجداء السّلّمي في الفراغالهندسة الفراغية

يبدأ الكتاب بسطرٍ لا يُقرأ عادةً: «فيما يأتي نفترض أنّنا اخترنا في الفراغ واحدة للطّول». من دونه لا معنى لكلمة «نظيم»، والتعريف الآتي مبنيٌّ على النظائم وحدها.

تذكّر: لاحظ أنّها الصيغة ① نفسها من الدرس السابق، حرفاً بحرف. ما كان في المستوي تذكرةً صار هنا تعريفاً.

ثمّ يأتي السطر الذي يحمل الدرس كلّه، في إطارٍ صغير بجانب مصباح: شعاعان يقعان بالضرورة في مستوٍ. اكتب $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ و$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$، فيوجد مستوٍ $\mathcal{P}$ يحوي $A$ و$B$ و$C$، وواحدة الطول فيه هي واحدة الطول في الفراغ. فالجداء السّلّمي لشعاعين في الفراغ هو جداؤهما في ذلك المستوي.

تذكّر: من هنا: كلّ عبارةٍ أُثبتت في المستوي تبقى صحيحةً في الفراغ. لا برهان جديد، والسبب أنّ المسألة لم تخرج من المستوي أصلاً.

انتبه: خطآن يقعان في التعريف نفسه. الأوّل: قلب الإشارات، أي كتابة $\frac{1}{2}({\parallel \vec{u}\parallel }^2+{\parallel \vec{v}\parallel }^2-{\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel }^2)$؛ الترتيب في الكتاب هو نظيم المجموع أوّلاً، ثمّ يُطرح منه النظيمان. والثاني: نسيان العامل $\frac{1}{2}$. اختبارٌ سريع لكليهما: ضع $\vec{v}=\vec{u}$، فيجب أن يخرج ${\parallel \vec{u}\parallel }^2$، لا ضِعفه ولا سالبه.

ينقل الكتاب صيغتين من المستوي، ويضعهما في نقطتين بلا عنوان. الأولى بالزاوية، والثانية بالمسقط، وهما اللتان تُحلّ بهما مسائل المجسّمات حين لا يكون هناك معلم.

انتبه: في صيغة المسقط، المُسقَطة هي $C$ على المستقيم $\left(AB\right)$، لا العكس. ومن أسقط $B$ على $\left(AC\right)$ حسب مقداراً آخر. القاعدة: الشعاع الذي تعرفه يبقى، والشعاع المجهول هو الذي يُستبدل بمسقطه.

هنا وحده يظهر شيءٌ جديد فعلاً: مركّبةٌ ثالثة. والكتاب يُبرز شرط المعلم المتجانس بلونٍ مختلف، فهو الشرط الذي تسقط الصيغة من دونه.

انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر في هذه الصيغة. الأوّل: نقل صيغة المستوي بمركّبتين $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$، فيسقط كلّ أثر المحور الثالث. والثاني: استعمالها في معلمٍ غير متجانس، وهو الشرط الذي يبرزه الكتاب بلونٍ مختلف. والثالث: التعويض بإحداثيّات النقطتين بدل مركّبات الشعاع؛ مركّبات $\overrightarrow{AB}$ هي إحداثيّات $B$ ناقص إحداثيّات $A$.

يقول الكتاب قبل المبرهنة: «تفيد المبرهنة السّابقة في إثبات صحّة قواعد الحساب الّتي تُماثل نظيراتها في المستوي دون عناء»، ثمّ يكتب المبرهنة ويترك برهانها تمريناً للقارئ. والطريق الذي أعلنه هو الطريق: عوّض بالمركّبات، فتصير كلّ قاعدةٍ سطراً من الجبر العاديّ.

تذكّر: القاعدة الثالثة هي التي تُخطَأ أكثر من غيرها: $\left(2\vec{u}\right)\cdot \left(3\vec{v}\right)$ تساوي $6(\vec{u}\cdot \vec{v})$، لا $2(\vec{u}\cdot \vec{v})$ ولا $3(\vec{u}\cdot \vec{v})$.

انتبه: وما لا تقوله المبرهنة: لا يجوز الاختصار. من $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$ لا يتبع $\vec{v}=\vec{w}$، بل $\vec{u}\cdot (\vec{v}-\vec{w})=0$ وحدها. الكتاب يحذّر من ذلك في الدرس السابق، وينطبق التحذير هنا كما هو.

المثال الأوّل في الكتاب رباعي وجوهٍ منتظم، وكلّ وجهٍ فيه مثلّثٌ متساوي الأضلاع طول ضلعه $a$. لا معلم هنا ولا إحداثيّات، بل زوايا معروفة وتفكيك.

والجزء الثاني من المثال نفسه مكعّب. الفكرة فيه واحدة: استبدل الشعاع المجهول بمسقطه، ثمّ اقرأ الجداء من حرفٍ واحد.

انتبه: وفي آخر بندٍ من هذا المثال يظهر $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{HC}=0$، بعد استبدال $\overrightarrow{HC}$ بـ$\overrightarrow{EB}$. لا تقرأ الصفر من الرسم: $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CH}$ يساوي $a^2$ لا صفراً، مع أنّ $\left[CH\right]$ قطر وجهٍ لا حرفاً، ومع أنّه يبدو في الصورة متخالفاً مع $\left[AE\right]$. الحساب يحسم، لا الشكل.