التمرين الثالث من امتحان 2022، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. اكتب مجموعة قيم $X$ وقانونه الاحتمالي.(20 درجةً)

   مجموعة القيمالدرجة: 2+2

   في الصندوق بطاقةٌ واحدةٌ غير حمراء، فبين البطاقتين المسحوبتين حمراءُ واحدةٌ على الأقلّ، ولا يزيد عدد الحمراوات على $2$:

   $$I=\{1,2\}$$

   حمراء واحدةالدرجة: 3+3+2

   $X=1$ معناه حمراءُ وزرقاء. احتمال حمراء أوّلاً $\frac{2}{3}$، ثمّ تبقى بطاقتان إحداهما الزرقاء، فاحتمالها $\frac{1}{2}$. والترتيب المعاكس، الزرقاء أوّلاً ثمّ حمراء، له الاحتمال نفسه $\frac{1}{3}\times 1$، فنضرب في $2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(X=1)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 2}\\ {\displaystyle =\frac{2}{3}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا كتب قيم $X$ و $Y$ في جدول القانون الاحتمالي للزوج $(X,Y)$ ينال درجة $X$ و $Y$»، أي ينال درجات مجموعتَي القيم إن كتب القيم في جدول الطلب الثالث. وفي عمود الدرجات «(تباديل3)+3»، أي إحدى الثلاثتين للتباديل، وهي هنا العامل $2$ الذي يعدّ ترتيبَي البطاقتين.

   حمراوانالدرجة: 3+3+2

   $X=2$ معناه أنّ البطاقتين كلتيهما حمراوان: حمراء أوّلاً $\frac{2}{3}$، ثمّ الحمراء الباقية من بطاقتين $\frac{1}{2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(X=2)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle =\frac{1}{3}}\end{array}$$

   وفي السلّم المطبوع يبدأ هذا السطر بـ$p(X=1)$، والمقصود $X=2$، فالقيمة $1$ حُسبت في السطر السابق.

   الجواب

   قانون $X$ الاحتمالي:

   $x$	$1$	$2$
   $\mathbb{P}(X=x)$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

   تحقّق: $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$.

2. 2. اكتب مجموعة قيم $Y$ وقانونه الاحتمالي.(30 درجةً)

   مجموعة القيمالدرجة: 2+2+2

   البطاقتان المسحوبتان مختلفتان، فرقماهما $0$ و$1$، أو $0$ و$2$، أو $1$ و$2$، ومجموعهما $1$ أو $2$ أو $3$:

   $$J=\{1,2,3\}$$

   المجموع واحدالدرجة: 3+3+2

   $Y=1$ معناه البطاقتان $0$ و$1$. احتمال إحداهما أوّلاً $\frac{1}{3}$، ثمّ الأخرى من بطاقتين $\frac{1}{2}$، وللترتيبين الاحتمال نفسه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(Y=1)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2}\\ {\displaystyle =\frac{1}{3}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا استعمل الطالب التوافيق بشكل صحيح ينال الدرجة كاملة»، أي يجوز أن يعدّ الأزواج دون ترتيب: عددها $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3$، ولكلٍّ منها الاحتمال $\frac{1}{3}$.

   المجموع اثنانالدرجة: 3+3+2

   $Y=2$ معناه البطاقتان $0$ و$2$، بأحد الترتيبين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(Y=2)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2}\\ {\displaystyle =\frac{1}{3}}\end{array}$$

   المجموع ثلاثةالدرجة: 3+3+2

   $Y=3$ معناه البطاقتان $1$ و$2$، بأحد الترتيبين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(Y=3)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2}\\ {\displaystyle =\frac{1}{3}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا استعمل الطالب السحب مع الإعادة يخسر 20 درجة»، أي من أعاد البطاقة إلى الصندوق قبل السحبة الثانية خالف نصّ التمرين.

   الجواب

   قانون $Y$ الاحتمالي، وقيمه الثلاث متساوية الاحتمال:

   $y$	$1$	$2$	$3$
   $\mathbb{P}(Y=y)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

   تحقّق: $3\times \frac{1}{3}=1$.

3. 3. اكتب في جدول القانون الاحتمالي للزوج $(X,Y)$، أيكون المتحولان $X$ و $Y$ مستقلين احتمالياً؟ لماذا؟(10 درجات)

   جدول الزوجالدرجة: 1+1+1+1+1+1

   السحبة الواحدة تعيّن $X$ و$Y$ معاً. المجموع $1$ يأتي من البطاقتين الحمراوين، فمعه $X=2$. والمجموعان $2$ و$3$ فيهما البطاقة الزرقاء، فمعهما $X=1$. فثلاث خاناتٍ احتمال كلٍّ منها $\frac{1}{3}$، والخانات الثلاث الأخرى أحداثٌ مستحيلة:

   ${}_Y^X$	$1$	$2$	$p_j^{\mathrm{\prime }}$
   $1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
   $2$	$\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{1}{3}$
   $3$	$\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{1}{3}$
   $p_i$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$1$

   قيم $X$ في السطر الأعلى وقيم $Y$ في العمود الأيسر، كما في السلّم. والسطر الأخير قانون $X$ من الطلب الأوّل، والعمود الأخير قانون $Y$ من الطلب الثاني.

   خانة صفريّةالدرجة: 2

   نختار خانةً صفريّة، فهي الأسرع في الكشف: $X=1$ و$Y=1$. احتمال التقاطع من الجدول، والجداء من الهامشين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}((X=1)\cap (Y=1))=0}\\ {\displaystyle \mathbb{P}(X=1)\times \mathbb{P}(Y=1)}\\ {\displaystyle =\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}\mathrm{\ne }0}\end{array}$$

   وفي السلّم المطبوع الجداء $\frac{1}{9}$، والصواب $\frac{2}{9}$؛ والنتيجة لا تتغيّر، فالعددان كلاهما غير معدوم.

   الجوابالدرجة: 2

   الاستقلال يتطلّب المساواة في كلّ خانة، وقد خالفت خانةٌ واحدة، فالمتحوّلان $X$ و$Y$ غير مستقلّين احتماليّاً. والمعنى: إذا عرفنا أنّ المجموع $1$ عرفنا يقيناً أنّ البطاقتين حمراوان.